第二章 方程求根
§2.1 问题的提出
§2.1 问题的提出
实际问题
f(x)=0, f: R→ R
定义：如存在x*使得f(x*)=0
则称x*为方) (x x * )m g (x ), g (x * ) 0
m=1 x*为f(x)=0的单根或f(x)的单零点 m>1 x*为f(x)=0的m重根或f(x)的m重零点
§2.1 问题的提出
如修正牛顿法，拟牛顿法等。1797年，高斯给出 “代数基本定理”，指出高次代数方程根的存在性。 1819年，霍纳提出求高次代数方程数值解的另一种 方法－－霍纳法，其思想及计算程序与秦九韶的方 法近似，类似的方法鲁非尼在1804年也提出过，霍 纳法也有广泛的应用，它的现代改进形式叫劈因子 法。现在常用的代数方程数值解法还有伯努利法和 劳斯表格法。
f(x) (1)n
(x)2mn 2
0
m0
m!(mn)!
§2.1 问题的提出
Remarks:
1. 非线性方程的根可为实根或复根；复 根总是共轭出现。
2. Galois(伽罗瓦)在1830年就已经从理 论上证明对于次数高于4次的代数方程， 其根不能用方程系数的解析式表示；一 般的超越方程更没有解析的求根公 式！！！！！！！1。
§2.1 问题的提出
• f(x)是n次代数多项式 f(x)=0是n次代数方程
• f(x)是超越函数 f(x)=0是超越方程
§2.1 问题的提出
例如:
1. n次代数方程:
f( x ) a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0 0
2. 超越方程:
f(x)sinxex0
牛顿(2)
成，1736年出版)，首先发表在《自然哲学的数学 原理》(1687)中。其中借助运动学中描述的连续量 及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一 点表示流动变化率。讨论的基本问题是：已知流量 间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算，确定 了微分与积分这两类运算的互逆关系，即微积分学 基本定理。此外，他还论述了有理指数的二项式定 理(1664年)，n次代数方程根的m次幂和的公式 (1707年)，数论、解析几何学、曲线分类、变分法 等问题。在物理学上发现了万有引力定律(16661684)，并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。 1666年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并
§2.1 问题的提出
➢ 扫描流程
§2.1 问题的提出
【历史注记】人们很早就探索了高次方程的数值解 的求法。巴比伦泥板中有平方表和立方表，利用它 们可以解某些特殊的二次和三次方程。中国古人相 当系统地解决了求高次方程数值解的问题，《九章 算术》以算法形式给出了二次方程及正系数三次方 程正根的具体计算程序；7世纪王孝通也给出了求 三次方程正根的数值解法；11世纪贾宪在《黄帝九 章算法细草》中创“开方作法本源图”,用“立成 释锁法”解三次和三次以上高次方程, 同时他又提 出一种更为简便的“增乘开方法”；13世纪秦九韶 在《数书九章》中的“正负开方术”最后完成，提 供了一个用算筹布列解任何次数字方程的可行算法。
§2.1 问题的提出
阿拉伯人对高次代数方程的数值解法亦有研究，花 拉子米(9世纪)第一个给出了二次方程的一般解法, 奥马海亚姆(1100年)给出了一些特殊三次方程的解 法。1541年塔尔塔利亚得到三次方程的一般解法。 1545年卡尔达诺在其名著《大术》一书中发展了塔 尔塔利亚的这一成果，并记载了费拉里得到的四次 方程的一般解法。牛顿在1736年出版的《流数法》 一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解 法,1690年Raphson 也提出了类似的方法，它们的结 合就是现代常用的方法－牛顿法(也叫NewtonRaphson方法)。它是一种广泛用于高次代数方程求 解的迭代法，亦称为切线法，并不断产生新的变形,
牛顿像(7)
牛顿像(8)
高斯(1)
高斯(Gauss, Carl Friedrich 1777.4.30-1855.2.23)：德 国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克， 卒于格丁根。高斯是近代数学奠基者之一，在历史 上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格 丁根大学学习。第二年他发现正十七边形的尺规作 图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解 决了欧几里得以来悬而未决的问题。1798年转入黑 尔姆施泰特大学，1799年获博士学位。1807年以后 一直在格丁根大学任教授。
牛顿(3)
亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、 运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实 验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表 述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世 近300年的物理学研究。
牛顿像(1)
牛顿像(2)
牛顿像(3)
牛顿像(4)
牛顿像(5)
牛顿像(6)
牛顿(Newton Isaac 1643.1.4-1727.3.31)：英国数学 家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于林肯 郡伍尔索普，卒于伦敦。早年在格兰瑟姆读书， 1661年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上 受教于巴罗。1664年毕业后曾为躲避鼠疫回乡， 1665－1666年做出流数法、万有引力和光的分析三 大发明，年仅23岁。1667年回剑桥在三一学院执教。 1669年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位。晚年致 力于哲学和公务，1696年任造币厂监督，3年后任 厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。他在数学 上以创建微积分学而著名，其流数法始于1665年， 系统叙述于《流数法和无穷级数》(1671年完
§2.1 问题的提出
3. 根的个数。
• n次代数方程有?个根(包括实根和复根) • n为奇数时, 至少有一个根是实根 • 对于超越方程,根可能0~无穷个
§2.1 问题的提出
➢ 方程求根步骤
(1) 对给定区间进行扫描,确定仅存在单根的 区间,此区间内的任意一点可视为根的近似 值。
(2) 用迭代方法使根精确到所要求精度。
§2.1 问题的提出
• 有多种数值算法可以求解非线性方程， 我们在本章将学习其中得几种，它们是：
✓ 二分法(bisection method) ✓迭代法(iteration method) ✓牛顿法(Newton method) ✓牛顿下山法(Newton downhill method)。
牛顿(1)