最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A．0 B．1 C．D．22．在方程（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A．（2，﹣7）B．（，）C．（，）D．（1，0）3．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．B．C．7 D．144．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象．则函数g（x）的一个增区间是（）A．（﹣，）B．（，π）C．（，）D．（0，）5．使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）A．a＞b+1 B．＞1 C．a2＞b2D．a3＞b36．下列函数：①y=﹣；②y=（x﹣1）3；y=log2x﹣1；④y=﹣（）|x|中，在（0，+∞）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③④7．某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．128．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．336 B．510 C．1326 D．3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9．在（1﹣x）5的展开式中，x2的系数为______（用数字作答）10．己知向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣），则实数x=______．11．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率e=______．12．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为mσ，平均数为，则m e，mσ，之间的大小关系是______．13．已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于______，△ABD的面积等于______．14．已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n≥2，n∈N*）个不同的数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值是______；若n=2，则的最大值等于______．三、解答题题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．如图，在四边形ABCD中，AB=4，AC=2，cos∠ACB=，∠D=2∠B．（Ⅰ）求sin∠B；（Ⅱ）若AB=4AD，求CD的长．16．2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：中国十佳宜居城市中国十佳最美丽城市排名城市得分排名城市得分1 深圳90.2 1 杭州93.72 珠海89.8 2 拉萨93.53 烟台88.3 3 深圳93.34 惠州86.5 4 青岛92.25 信阳83.1 5 大连92.06 厦门81.4 6 银川91.97 金华79.2 7 惠州90.68 柳州77.8 8 哈尔滨90.39 扬州75.9 9 信阳89.310 九江74.6 10 烟台88.8（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为与，方差分别为S12，S22，试比较与，S12，S22的大小；（只需要写出结论）（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．（Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论）19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点F（1，0），过F作两条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若直线AB，CD的斜率均存在，求•的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点．20．数列{a n}是由1，2，3，…2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合B，即B={x|x=a n+i，n=0，1，2，…，2016﹣m}．（Ⅰ）若m=8，求B中元素的最大值；（Ⅱ）下列情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列{a n}，若不能，说明理由．①m=8，n=8k，k=0，1，2， (251)②m=3，n=3k，k=0，1，2， (671)（Ⅲ）对于数列{a n}，若m=8，记B红元素的最大值为D，试求S的最小值．参考答案与试题解析一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】化简复数z，求出它的模长即可．【解答】解：∵复数z=i（1+i）=﹣1+i，∴|z|==．故选：C．2．在方程（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A．（2，﹣7）B．（，） C．（，） D．（1，0）【考点】参数方程化成普通方程．【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可．【解答】解：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2x2=y∴方程（θ为参数且θ∈R）表示x2=（1﹣y）将点代入验证得B适合方程，故选：C．3．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．B．C．7 D．14【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a4=2（a2+a3），∴a4=2（a1+a4），则===7．故选：C．4．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象．则函数g（x）的一个增区间是（）A．（﹣，）B．（，π）C．（，）D．（0，）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）=sin2（x+）=cos2x的图象．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，∴函数g（x）的增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z，可得函数g（x）得一个增区间为（，π），故选：B．5．使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）A．a＞b+1 B．＞1 C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．若a＞b+1，则a＞b成立，即充分性成立，反之若a＞b，则a＞b+1不一定成立，即a＞b+1是“a＞b”成立的一个充分不必要条件，B．当b＜0时，由＞1得a＜b，则a＞b不成立，即＞1不是充分条件，不满足条件．C．由a2＞b2得a＞b或a＜﹣b，则a2＞b2不是充分条件，不满足条件．D．由a3＞b3得a＞b，则a3＞b3是a＞b成立的充要条件，不满足条件．故选：A．6．下列函数：①y=﹣；②y=（x﹣1）3；y=log2x﹣1；④y=﹣（）|x|中，在（0，+∞）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据反比例函数的单调性，指数函数的单调性，单调性定义，以及函数零点的定义便可判断每个函数是否满足条件，从而找出正确选项．【解答】解：①反比例函数在（0，+∞）上是增函数；∵x＞0时，；∴该函数不存在零点；②y=（x﹣1）3，x=1时，y=0；即该函数在（0，+∞）上存在零点；③y=log2x﹣1，x=2时，y=0；即该函数在（0，+∞）上存在零点；④x∈（0，+∞）时，；为减函数，∴在（0，+∞）上为增函数；∵x＞0；∴；；∴函数在（0，+∞）上无零点；∴在（0，+∞）上是增函数且不存在零点的函数的序号是①④．故选A．7．某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和三视图之间的关系求出俯视图的长、宽，由三角形的面积公式求解即可．【解答】解：根据正视图和侧视图，画出俯视图如图所示：其中虚线是边长为4的正方形，两个顶点是边的中点，所以俯视图的面积S==6，故选：A．8．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．336 B．510 C．1326 D．3603【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数．【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9．在（1﹣x）5的展开式中，x2的系数为10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】求出通项，化简，取r值，得到所求．【解答】解：（1﹣x）5的展开式的通项为，零r=2，得到x2的系数为（﹣1）2=10；故答案为：10．10．己知向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣），则实数x= 9 ．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的垂直关系，通过数量积求解即可．【解答】解：向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣），可得（1，2）•（1﹣x，4）=0．即9﹣x=0，解得x=9．故答案为：9．11．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率e= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，由条件可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，由一条渐近线方程为x﹣2y=0，可得=，即b=2a，即有c==a，可得e==．故答案为：．12．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为mσ，平均数为，则m e，mσ，之间的大小关系是mσ＜m e＜．【考点】频率分布直方图．【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【解答】解：由图知众数mσ=5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，∴m e=5.5，=（2×3+3×4+10×5+6×3+3×7+2×8+2×9+2×10）=5.97，∴mσ＜m e＜，故答案为：mσ＜m e＜．13．已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于，△ABD的面积等于．【考点】圆的切线方程．【分析】直接利用已知结合切割弦定理求得CD；求解直角三角形求得sin∠DOB，然后代入三角形面积公式求得△ABD的面积．【解答】解：如图，∵AB=1，BC=1，∴AC=2，由切割弦定理可得：CD2=BC•AC=1×2=2，∴．连接OD，则OD⊥CD，在Rt△ODC中，由CD=，OC=，得sin∠DOC=，∴=．故答案为：，．14．已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n≥2，n∈N*）个不同的数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值是 3 ；若n=2，则的最大值等于4﹣．【考点】分段函数的应用．【分析】作出f（x）的图象，利用==…==k的几何意义是过原点的直线与f（x）相交点的斜率．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：==…==k的几何意义是过原点的直线与f（x）相交点的斜率，由图象知过原点的直线和f（x）最多有3个交点，即n的最大值是3，若n=2，则直线与f（x）有两个交点，则当过原点的直线y=kx的斜率k=0，或者y=kx与f（x）在1≤x≤3相切时的斜率，其中的最大值为y=kxf（x）在1≤x≤3相切时的斜率，将y=kx代入y=﹣x2+4x﹣3，得kx=﹣x2+4x﹣3，即x2+（k﹣4）x+3=0，由判别式△=（k﹣4）2﹣12=0得k﹣4=±，即k=4±，∵方程的根x=∈（1，2），∴0＜k＜2，则k=4﹣，故的最大值等于4﹣，故答案为：3，4﹣三、解答题题共6小题，共80分。