当前位置:文档之家› 八年级数学全等三角形复习题及答案

八年级数学全等三角形复习题及答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。

求证:ACF BDE ∆≅∆。

例 2. 如图,在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。

求证:21C ∠=∠+∠。

例3. 如图,在ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。

求证:AE CF =。

例4. 如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =。

例5. 如图,,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P 。

求证:BP 为MBN ∠的平分线。

例6. 如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点,且CD AB =,ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ∆的中线。

求证:2AC AE =。

例7. 如图,在ABC ∆中,AB AC >,12∠=∠,P 为AD 上任意一点。

求证:AB AC PB PC ->-。

同步练习一、选择题:1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件,能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =,4BC =,8CA =B. 4AB =,3BC =,30A ∠=C. 60C ∠=,45B ∠=,4AB =D. 90C ∠=,6AB =3. 如图,已知12∠=∠,AC AD =,增加下列条件:①AB AE =;②BC ED =;③C D ∠=∠;④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,12∠=∠,C D ∠=∠,,AC BD 交于E 点,下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠ B. CE DE =C. DEA ∆不全等于CBE ∆D. EAB ∆是等腰三角形5. 如图,已知AB CD =,BC AD =,23B ∠=,则D ∠等于( )A. 67B. 46C. 23D. 无法确定二、填空题:6. 如图,在ABC ∆中,90C ∠=,ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ,且:2:3CD AD =,10AC cm =,则点D 到AB 的距离等于__________cm ;7. 如图,已知AB DC =,AD BC =,,E F 是BD 上的两点,且BE DF =,若100AEB ∠=,30ADB ∠=,则BCF ∠=____________;8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠,,BC BD 为折痕,则CBD ∠的大小为_________;9. 如图,在等腰Rt ABC ∆中,90C ∠=,AC BC =,AD 平分BAC ∠交BC 于D ,DE AB ⊥于E ,若10AB =,则BDE ∆的周长等于____________;10. 如图,点,,,D E F B 在同一条直线上,AB //CD ,AE //CF ,且AE CF =,若10BD =,2BF =,则EF =___________;三、解答题: 11. 如图,ABC ∆为等边三角形,点,M N 分别在,BC AC 上,且BM CN =,AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

12. 如图,90ACB ∠=,AC BC =,D 为AB 上一点,AE CD ⊥,BF CD ⊥,交CD 延长线于F 点。

求证:BF CE =。

答案例1. 思路分析:从结论ACF BDE ∆≅∆入手,全等条件只有AC BD =;由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =,又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件,可以是CF DE =,也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥,BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=,再加上AE BF =,AC BD =,可以证明ACE BDF ∆≅∆,从而得到A B ∠=∠。

解答过程:AC CE ⊥,BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中AE BFAC BD=⎧⎨=⎩ ∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠AE BF =∴AE EF BF EF -=-,即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)解题后的思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。

小结:本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。

例2. 思路分析:直接证明21C ∠=∠+∠比较困难,我们可以间接证明,即找到α∠,证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。

也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢?角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ,则构造了△FBD ,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

解答过程:延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中90ABD FBD BD BDADB FDB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠又1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

解题后的思考:由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 思路分析:可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。

以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置,而线段CF 正好是CBF ∆的边,故只要证明它们全等即可。

解答过程:90ABC ∠=,F 为AB 延长线上一点∴90ABC CBF ∠=∠=在ABE ∆与CBF ∆中AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CBF ∆≅∆(SAS) ∴AE CF =。

解题后的思考:利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。

小结:利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 思路分析:关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程:连接ACAB //CD ,AD //BC ∴12∠=∠,34∠=∠ 在ABC ∆与CDA ∆中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC CDA ∆≅∆(ASA) ∴AB CD =。

解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。

例5. 思路分析:要证明“BP 为MBN ∠的平分线”,可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明,故应过点P 向,BM BN 作垂线;另一方面,为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”,也需要作出点P 到两外角两边的距离。

解答过程:过P 作PD BM ⊥于D ,PE AC ⊥于E ,PF BN ⊥于FAP平分MAC∠,PD BM⊥于D,PE AC⊥于E∴PD PE=CP平分NCA∠,PE AC⊥于E,PF BN⊥于F∴PE PF=PD PE=,PE PF=∴PD PF=PD PF=,且PD BM⊥于D,PF BN⊥于F∴BP为MBN∠的平分线。

解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6.思路分析:要证明“2AC AE=”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。

因此,延长AE至F,使EF AE=。

解答过程:延长AE至点F,使EF AE=,连接DF在ABE∆与FDE∆中AE FEAEB FEDBE DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FDE∆≅∆(SAS)∴B EDF∠=∠ADF ADB EDF∠=∠+∠,ADC BAD B∠=∠+∠又ADB BAD∠=∠∴ADF ADC∠=∠AB DF=,AB CD=∴DF DC=在ADF∆与ADC∆中AD ADADF ADCDF DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF ADC∆≅∆(SAS)∴AF AC=又2AF AE=∴2AC AE=。

解题后的思考:三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。

例7.思路分析:欲证AB AC PB PC->-,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。

由于结论中是差,故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段AB AC-。

而构造AB AC-可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程:法一:在AB上截取AN AC=,连接PN在APN∆与APC∆中12AN ACAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴APN APC∆≅∆(SAS)∴PN PC=在BPN∆中,PB PN BN-<∴-<-PB PC AB AC,即AB-AC>PB-PC。

法二:延长AC至M,使AM AB=,连接PM在ABP∆与AMP∆中12AB AMAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABP AMP∆≅∆(SAS)∴PB PM=在PCM∆中,CM PM PC>-∴AB AC PB PC->-。

解题后的思考:当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。

具体作法是:在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。

小结:本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。

我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。

同步练习的答案一、选择题: 1. A2. C3. B4. C5. C二、填空题: 6. 47. 708. 909. 1010. 6三、解答题: 11. 解:ABC ∆为等边三角形∴AB BC =,60ABC C ∠=∠= 在ABM ∆与BCN ∆中AB BC ABC C BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABM BCN ∆≅∆(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

相关主题