非线性时间序列模型的波动性建模Song-Yon Kim and Mun-Chol Kim朝鲜平壤金日成综合大学数学学院本文出自于2011年5日朝鲜平壤举行的第一届PUST国际会议本版修订于2013年11月3日摘要：在本文中的非线性时间序列模型被用来描述金融时间序列数据的波动。
描述两种由波动的非线性时间序列组合成TAR（阈值自回归模型）与AARCH（非对称自回归条件异方差模型）的误差项和参数估计的研究。
关键词：非线性时间序列模型；波动；ARCH（自回归条件异方差模型）；AARCH；TAR；QMLE（拟极大似然估计）一介绍在金融市场中，资产价格的波动是一个极其重要的变量，其建模在投资，货币政策，金融风险管理等方面中有重要意义在投资持有期的资产价格波动的一个很好的预测是评价投资风险的一个很好的起点。
资产价格波动是金融衍生证券定价的最重要的变量。
对于定价我们需要知道的波动性范围是从现在相关资产，直至期权到期。
事实上，市场惯例是根据波动单位列出价格期权。
如今，波动性的定义和测量可能在衍生工具合约明确规定。
在这些新的合同，波动成为潜在的“资产”。
波动率模型已成为一个在金融时间序列模型分析的主要对象并且使许多科学家沉浸其中。
其中σ称为波动，在上面的公式中所示，σ准确估计成为期权定价和估计的一个非常重要的问题。
此外，如对关联时间t 的波动σt 的估计等问题开始提出。
1982，罗伯特恩格尔提出了一个新的模型来用一个更准确的方法[ 7 ]对波动作出估计。
他重视ARCH 模型中的误差项，这是大多线性时间序列模型如AR 、ARMA 、ARIMA 等所忽略的。
同时他提出一种新的非线性模型，通过相加取代简单的白噪声，误差项的条件异方差性偏差的变化自动回归。
误差项的条件异方差性偏差的 自动回归1986年，Bollerslev 将Engle 的 ARCH (q)模型修改变为GARCH (p, q) model [8].⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==∑∑==--q i p i i t i i t i t t t t t h h d i i z h z 112021..:,βεααε在他的论文中，他提出了GARCH （1，1）过程中的存在，静止状态和MLE （最大似然估计）。
此后，大量ARCH 模型相继被开发出来，例如ARCH-M ，IGARCH 和LogGARCH 等。
在整个研究中，波动性已被证明是更受“坏消息”，而不是“好消息”的影响，也就是说，是不对称的，这导致对非对称模型的研究。
1991年，Nelson 提出了指数GARCH 模型（EGARCH ）描述了不对称冲击。
[ 6 ]()()()x E x x x g g h t t t -+=-+-+=λωεγγ11h 10但在许多研究论文，有效的参数估计和固定的条件是没有明确解释的，而且这种困难难以克服[ 9 ]。
但在1993，Glosten 开始使用阈值自回归条件异方差（TARCH ）模型和其后提出的许多非对称模型[ 2 ]，试图对不对称的波动进行建模。
特别是在2003年，Wai Mi Bei 开发了非对称ARCH （q ）模型[ 10 ]。
()∑∑==---+++=q i p j j t j it i i t i t h 1120H γεβεαα直到现在，持续的研究正在努力拟出更好的波动模型以显示各种ARCH 模型的影响。
在本文中，利用非线性时间序列模型的波动性建模是基于对前人研究成果分析的观察而得出。
众所周知的，波动性和其他金融时间序列数据可以被ARCH 模型很好地描述。
同时，这些数据在一定的时间点有系统的变化。
例如，亚洲金融危机之后金融时间序列数据的突然改变，以及美国的住房危机等。
反映这类系统的改变的最典型的模型是阈值自回归模型（TAR ）模型。
该模型的概念的第一次提出是在1953年由P. A. P. Modern 提出的模仿的加拿大猞猁生态数据的不能被线性模型解答的问题。
1983年，为解决这一问题在，H.tong 在一个框架分析了时间序列数据，提出以往的研究方法的限制，证明时间序列数据的各种线性模型具有不同范围的组合能具有更好的效果。
针对加拿大猞猁的生态系统，他提出了下面的模型。
()().25.0,0~,2.0,0~,25.3,24.152.125.225.3,43.025.162.022221221N N x x x x x x x t t t t t t t t t t t '⎪⎩⎪⎨⎧>'+-+≤+-+=------εεεε同时，他也表明，如果从1749到1924年太阳黑子的数量的原始数据的使用Box-Cox 变换，或可以通过以下模型描述⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-+≤++++-+--+-++=----------------9824.11,0554.08408.04431.12746.49824.11,0873.00091.02116.02701.01875.00005.0985.11479.03153.00728.08416.09191.1x 832181110987654321t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x εε 这是数据分析伴随着系统的变化而进步的一个巨大贡献。
如模型中显示，TAR 模型已改为基于阈值（以上模型中的11.9824）与一定的时间延迟（在上述模型中的9）并成为完全删除以前的线性度的非线性时间序列模型的起源。
因此，我们认为，如果我们要对某些事件如金融危机后的波动数据建立模型，将TAR 模型和AARCH 模型在同一结构上结合能得到更好的预测效果。
在本文中，我们提出了TAR-AARCH （阈值自回归—不对称自回归条件异方差）模型(1)-(3)来描述波动。
()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>>++==+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑---=-=-known q p q h N d i i z h z R x x q i t i t i i t i t t t t tt j tj d t p k k t jk j t :,,0,01,0,,,:,1x 02021010αεβεααεεϕϕ 其中l t t t ,,,21⋅⋅⋅，间隔序列⋅⋅⋅=,2,1,j R j 如下(](](](]()⎩⎨⎧∉∈=∈+∞=⋅⋅⋅==∞-=-Ax A x A x t R t t R t t R t R l l ,0,11,,,,,,,,,132321211 如模型(1)-(3)显示，(1)是TAR 模型及其误差，(2)和(3)是aarch 模型。
换句话说，模型(1)-(3)形成的TAR 模型包括非对称ARCH 效应。
同时也考虑到模型的似然函数的完整的形式是不可能的，基于QMLE （拟极大似然估计）的适当的参数估计方法已经建立和估计的渐近正态性，已证明了这tar-aarch 模型的适用性。
然后，通过在TAR 模型小波估计出延迟时间和阈值参数后，它可以估计出组合成tar-aarch 模型的所有参数[ 5 ]。
二 TAR-ARCH 模型的参数估计为了对模型使用QMLE ，我们首先需要找到jk t i t i t jk t t t h h ϕεαεαεϕα∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂,,,,.但由公式(3)显示，()jkt h ϕθ∂∂并不能被估计出，因为jk ϕ含有绝对值项，因此，通常会发现QMLE 的参数估计是无效的。
但如果对用于(1)-(3)中的QMLE 进行集中处理，这个问题是可以解决的。
此时，()q q ββααα,,,10⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆，，被固定，QMLE 集中()lp ϕϕθ⋅⋅⋅=∆,10，可以得到(1)，且可以观察到它的渐近正态性。
如果我们假设()lp ϕϕθ⋅⋅⋅=∆,10是已知的， QMLE 对t x 集中为α，得到它的渐近正态性的证明，那么我们就可以通过两个步骤获得的参数1θ和α估计。
()()()321但我们应该能够确定是否有这样的估计可以被假定为参数的估计，如果是这样，与拟极大似然估计的差值是多少。
为此，用拟极大似然估计法得到的TAR-ARCH 模型参数和它的渐近正态性已被分为基于上述方法得到集中拟极大似然估计和渐近正态性，对每个参数和结果可以与从[4]得到的拟极大似然估计比较，证明该方法的效率。
1.TAR-ARCH 模型中的集中拟极大似然估计法使()()lp l p p q ϕϕϕϕϕϕϕθαααα,,,,,,,,,,,,,,122011110110⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆∆如果TAR-ARCH 模型是已知的，则集中QML 方程的转化： ()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∈=∈∑∑-----n t j dt k t t t n t j d t t t pk l j R x x h R x h 1111,1,,101011αθεθεα定理1：在模型(1)-(3)中，让n,1ˆθ作为QML 的估计，当α已知则集中在1θ，并满足强平稳条件。
Θ∈Θ∈Θ∈n,11ˆ,,θαθ 当α已知时，Θ∈0,1θ是模型(1)-(3)的真实估计，此时()()()0,110,1,10,1,1,0~ˆ2,ˆ1θθθθθ--→I N n n Pn同理，对α的集中拟极大似然估计和它的渐近正态性可由定理通过同样的方法证明。
我们可以发现拟极大似然估计与集中拟极大似然估计的差别。
为此，采用QMLE 获得的参数（TAR-ARCH ）可转化为()αθ~~1，，它的Fisher 信息矩阵()()αθθ~,~111--=I I 可以与上述的集中QMLE 的Fisher 信息矩阵()()αθ11--=I I 相比较以证明两者之间的关系。
()()[]()()[]10,1,110,1,1ˆvar ~var --->-θθθθn n n n ()()[]()()[]1010~var ˆvar --->-ααααn n n n (n ,1~θ,nα~:子函数的拟极大似然估计) 因此可以得出结论，如果子参数使用上面的方法获得了无法使用拟极大似然估计进行估计的TAR-AARCH 模型的集中拟极大似然估计，那么得到的估计可以接受，虽然效率略有减少。
2. 集中拟极大似然估计法在TAR-AARCH 模型的渐近正态性易知，在模型(1)-(3)中，如果α已知，集中QML 方程是如下()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∈=∈∑∑=--=-p k l j R x x h R x h n t j d t k t t t n t j d t t t,1,,1010111111αθεθεα 则可以证明以下定理。