Harbin Institute of Technology
自适应信号处理实验
课程名称：自适应信号处理
设计题目：LMS算法自适应均衡器实验院系：电子与信息工程学院
专业：信息与通信工程
设计者：宋丽君
学号：11S005090
指导教师：邹斌
设计时间：2011.4.10
哈尔滨工业大学
一、实验目的
研究用LMS算法自适应均衡未知失真的线性色散信道。
通过本实验加深对LMS算法的理解，并分析特征值扩散度和步长参数对收敛迭代次数的影响。
二、实验原理
最小均方算法（LMS算法）是线性自适应滤波算法，包括滤波过程和自适应过程，这两个过程一起工作组成了反馈环。
图1给出了自适应横向滤波器的框图。
图1 自适应横向滤波器框图
LMS算法是随机梯度算法中的一员，LMS算法的显著特点是实现简单，同时通过对外部环境的自适应，它可以提供很高的性能。
由于LMS算法在计算抽头权值的迭代计算的过程中移走了期望因子，因此抽头权值的计算会受到梯度噪声的影响。
但是因为围绕抽头权值起作用的反馈环像低通滤波器，平均时间常数与步长参数μ成反比，所以通过设置较小的μ可以让自适应过程缓慢的进行，这样梯度噪声对抽头权值的影响在很大程度上可以滤除，从而减少失调的影响。
LMS算法在一次迭代中需要2M+1次复数乘法和2M次复数加法，计算的复杂度为O(M),M 为自适应滤波器中抽头权值的数目。
LMS算法广泛地应用于自适应控制、雷达、系统辨识及信号处理等领域。
主要应用有：处理时变地震数据的自适应反卷积，瞬态频率的测量，正弦干扰的自适应噪声消除，自适应谱线增强，自适应波束形成。
三、 实验内容
在实验中假设所使用的数据是实数，进行研究的系统框图如下图2所示。
随机数发生器1产生用来探测信道的测试信号n x ；随机数发生器2用来干扰。
信道输出的白噪声源()v n 。
这两个随机数发生器是彼此独立的。
自适应均衡器用来纠正存在加性白噪声的信道畸变。
经过适当延迟，随机数发生器1也提供用做训练序列的自适应均衡器的期望响应。
)
n
图2 自适应均衡实验框图
加到信道输入的随机序列{}n x 由伯努利序列组成，1n x =±，随机变量n x 具有零均值和单位方差。
信道的脉冲响应用升余弦表示为：
20.51cos (2)1,2,30n n n h W n π⎧⎡⎤⎛⎫+-=⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣
⎦⎪⎩
为其他
（1）
其中参数W 控制均衡器抽头输入的相关矩阵的特征值分布()R χ，并且特征值分布随着W 的增大而扩大。
随机数发生器2产生的序列n v 具有零均值，方差
20.001v σ=。
均衡器具有11M =个抽头。
由于信道的脉冲响应n h 关于2n =对称。
那么均衡器的最优抽头权值on w 在5n =对称。
因此，信道的输入n x 被延时了257∆=+=个样值，以便提供均衡器的期望响应。
通过选择匹配横向均衡器中点的合适延时
∆，LMS 算法能够提供信道响应的最小相位分量和非最小相位分量之逆。
实验分为相同的两个部分，用来估计基于LMS 算法的自适应均衡器的响应，
以便改变特征值扩散度()R χ与步长参数μ。
在描述这个结果之前，我们首先计算11个抽头均衡器相关矩阵R 的特征值。
在时刻n ，均衡器第1个抽头输入为：()()()3
k 1n n k u h x n k v ==-+∑
其中所有参数均为实数。
因此，均衡器输入的11个抽头
()()()n-1,,10u n u n -，u 相关矩阵R 是一个对称的1111⨯矩阵。
此外，因为其
脉冲响应n h 仅当n=1,2,3时是非零的，且噪声过程()v n 是零均值、方差为2v σ的白噪声，因此相关矩阵是R 是主对角线的，如以下特殊结构所示：
()()()
()()()()()()()()()()()()0120010120210100
2100
0000r r r r r r r r r r r R r r r r ⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
其中 ()222
21230v r h h h σ
=+++ ()12231r h h h h =+ ()132r h h =
由信道脉冲响应可知道参数123,,h h h 由参数W 的值来确定。
下表1列出了自适应均衡实验参数小结：
表1：自适应均衡实验参数小结
具体的两部分实验内容如下：
1. 特征值扩散度的影响
步长参数固定为0.075μ=。
选择这个值的根据是：步长参数μ必须小于
max 1λ，其中max 1λ表示相关矩阵R 的最大特征值。
2. 步长参数的影响
固定参数W 的值为3.1，从而均衡器抽头输入相关矩阵的特征值扩散度为11.1238。
步长参分别取0.075、0.025、0.0075。
四、 程序框图
主程序流程框图 LMS 算法流程图
图3实验程序流程和LMS 算法流程图
五、实验结果
图4中四条线，由下至上分别对应参数W值：2.9，3.1，3.3，3.5
μ=，改变特征值扩散度] 图4 自适应均衡LMS算法学习曲线[0.075
k
W=2.9
024
681012
W=3.1
W=3.3k
W=3.5
图5 四个不同特征值扩散度的自适应均衡器的集平均脉冲响应
0500
10001500
10
-3
10
-2
10
-1
10
10
1
迭代次数
集平均平方误差
图6 改变步长时LMS 算法学习曲线
图6中，蓝线对应步长为0.0075，红线对应步长为0.025，绿线对应步长0.075。
六、 结果分析
图4中四条线，由上至下分别对应参数W 值：3.5，3.3，3.1，2.9。
对于每一个特征值扩散度，经过200次独立计算机实验，通过对瞬时误差()2e n 与n 的
关系曲线平均，可获得自适应滤波器的集平均学习曲线。
由图可以看出，特征值扩散度变化范围的扩大降低了自适应均衡器的收敛速率，同时也提高了平均平方误差的稳态值。
在图5中，对于四个感兴趣的特征值分布，我们画出了1000次迭代后自适应均衡器的集平均脉冲响应。
这个结果基于200次独立实验。
我们看到，在每种情况下自适应均衡器的脉冲响应关于中心抽头对称，这正是我们希望看到的。
从一个特征值扩散度到另一个特征值扩散度，其脉冲响应的变化仅仅反映信道脉冲响应相应变化的影响。
通过图6显示，证明了自适应均衡器收敛速率在很大程度上取决于步长参数。
当步长参数较大时（如0.075），均衡器收敛到稳态需120次迭代。
当步长较小时（如0.0075），收敛速率降低超过一个数量级。
该结果也表明平均均方误差稳态值随着步长参数值的变大而增大。