第十章 双线性函数与辛空间§1 线性函数定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =,式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：s s k k k αααβ+++= 2211那么)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.第i 个n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成n n x x x X εεε+++= 2211.设f 是n P 上一个线性函数，则∑∑====i i i i i i f x x f X f 11)()()(εε令,21,)(n i f a i i ，，， ==ε则n n x a x a x a X f +++= 2211)(就是上述形式.例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 则A 的迹nn a a a A Tr +++= 2211)(是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ⨯上的一个线性函数.例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：n n x x x εεεα+++= 2211都有∑∑====ni i i ni i i f x x f f 11)()()(εεα. (2)因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：∑∑===i i i i i i x a x f 11)(ε.这是一个线性函数，并且n i a f i i ,,2,1,)( ==ε因此有定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.§2 对偶空间设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.g f +也是线性函数：,))(())(()()()()()()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++ ))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.g f +称为f 与g 的和.还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：V f k kf ∈=ααα,))(())((,kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j f j i =⎩⎨⎧≠==ε (1)因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==ni i i x 1εα，有i i x f =)(α, (2)即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.引理 对V 中任意向量α，有∑==ni i i f 1)(εαα, (3)而对),(P V L 中任意向量f ，有∑==ni i i f f f 1)(ε. (4)定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.以后简单地把V 的对偶空间记作*V .例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式.,,2,1,)())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=+=+-它们满足.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨⎧≠==)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n用i a 代入，即得n i c a p c a p ci i p i nk i k k,,2,1,0)()(1====∑=.又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=则线性函数i L 满足.,,2,1,,,,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =⎩⎨⎧≠===因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.因此n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ni nj i j i j n ni i i nk k kj i j ,,2,1,,,0;,1)()(221122111=⎩⎨⎧≠==+++=+++=∑=εεεη由矩阵乘法定义，即得E A B ='即1-='A B定理3 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，取定V 中一个向量x ，定义*V 的一个函数**x 如下：***∈=V f x f f x ,)()(.根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射**→x x是一个同构映射.这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3 双线性函数定义3 V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质：1）),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+; 2）),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数，则V f f f ∈=βαβαβα,,)()(),(21是V 上的一个双线性函数.例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令AY X Y X f '=),(, (1)则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='='，并设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211则∑∑===n i nj j i ij y x a Y X f 11),(. (2)（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,则∑∑∑∑======ni nj j i j i ni nj j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)令n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则（3）就成为（1）或（2）.定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.n εεε,,,21 是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε(4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定V 的一组基n εεε,,,21 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域P 上一个n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =，其中),,,(21n x x x X ='，),,,(21n y y y Y ='用∑∑==='=n i nj j i ij y x a AY X f 11),(βα定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基：C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =βα,是V 中两个向量12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==那么11,CY Y CX X ==如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,，则有1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.又11),(BY X f '=βα.因此AC C B '=这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数，如果0),(=βαf对任意V ∈β，可推出0=α，f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基nεεε,,,21 下的度量矩阵为A ，则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =，有AY X f '=),(βα如果向量α满足V f ∈∀=ββα,0),(,那么对任意Y 都有0='A Y X因此0='A X而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =,则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基n εεε,,,21 ，由于),(),(i j j i f f εεεε=故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.因此),(βαf 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,),(βαf 有表示式n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1 设V 是复数上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(2211n r y x y x y x f rr ≤≤+++= βα.推论2 设V 是实数n 上维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i ni i i y x 11,εβεα，有)0(),(1111n r p y x y x y x y x f rr p p p p ≤≤≤---++=++ βα.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.定义7 设V 是数域P 上线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时，V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.给定V 上一组基n εεε,,,21 ，设),(βαf 的度量矩阵为()nn ija A ⨯=.对V 中任意向量∑==ni i i x 1εα有∑∑===n i nj j i ij x x a f 11),(αα. (5)式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为()n n ij a A ⨯= 及()n n ij b B ⨯=只要n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使⎪⎩⎪⎨⎧=∈=≠+===-.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6)从定理5可知，V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足⎩⎨⎧≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.而从定理6可知，V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的，则有V 的一组基r r --εεεε,,,,11 使⎩⎨⎧≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε由于非退化的条件，定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间),(f V 中一定能找到一组基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 满足,1,1),(n i f i i ≤≤=-εε 0,,,0),(≠+≤≤-=j i n j i n f j i εε.这样的基称为),(f V 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2．任一n 2级非退化反对称矩阵K 可把一个数域P 上n 2维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下的度量矩阵为nn O E E O J 22⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=, (1) 故K 合同于J .即任一n 2级非退化反对称矩阵皆合同于J .两个辛空间),(11f V 及),(22f V ，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构ℜ，它满足),(),(21Kv Ku f v u f =,则称ℜ是),(11f V 到),(22f V 的辛同构.),(11f V 到),(22f V 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11f V 的一组辛正交基变成),(22f V 的辛正交基.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间),(f V 到自身的，辛同构称为),(f V 上的辛变换.取定),(f V 的一组辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 ，V 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为K ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A K ,其中D C B A ,,,皆为n n ⨯方阵.则ℜ是辛变换当且仅当J JK K ='，亦即当且仅当下列条件成立：E B C D A B D D B A C C A ='-''=''=',,且易证0||≠K ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设),(f V 是辛空间，V v u ∈,,满足0),(=v u f ，则称v u ,为辛正交的.W 是V 的子空间，令{}W w w u f V u W ∈∀=∈=⊥,0),(|. (2)⊥W 显然是V 的子空间，称为W 的辛正交补空间.定理7 ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则W V W dim dim dim -=⊥.定义9 ),(f V 为辛空间，W 为V 的子空间.若⊥⊂W W ，则称W 为),(f V 的迷向子空间；若⊥=W W ，即W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若{}0=⊥W W ，则W 称W 为),(f V 的辛了空间.例如，设n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 是),(f V 的辛正交基，则),,,(21k L εεε 是迷向子空间. ),,,(21n L εεε 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间),,,,,,,(2121k k L ---εεεεεε 是辛子空间.对辛空间),(f V 的子空间W U ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质： (1) W W =⊥⊥)(, (2) ⊥⊥⊂⇒⊂U W W U ,(3) 若U 是辛子空间，则⊥⊕=U U V(4) 若U 是迷向子空间,则V U dim 21dim ≤(5) 若U 是拉格朗日子空间，则V U dim 21dim =定理8 设L 是辛空间),(f V 的拉格朗日子空间，{}n εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充为),(f V 的辛正交基.推论 设W 是),(f V 的迷向子空间，{}k εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充成),(f V 的辛正交基.对于辛子空间U ，U f |也是非退化的.同样⊥U f |也非退化.由定理7还有⊥⊕=U U V .定理9 辛空间),(f V 的辛子空间)|,(U f U 的一组辛正交基可扩充成),(f V 的辛正交基..定理10 令),(f V 为辛空间，U 和W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有),(f V 的辛变换把U 变成W .辛空间),(f V 的两个子空间V 及W 之间的（线性）同构ℜ若满足V v W u Kv Ku f v u f ∈∈∀=,,),(),(则称ℜ为V 与W 间的等距.Witt 定理 辛空间),(f V 的两个子空间V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充成),(f V 的一个辛变换.下面是辛变换的特征值的一些性质.ℜ是辛空间),(f V 上的辛变换，则ℜ的行列式为1.取定),(f V 的辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 .设ℜ在基下矩阵为K ，这时有J JK K ='.定理11 设ℜ是n 2维辛空间中的辛变换，K 是ℜ在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式||)(K E f -=λλ满足)1()(2λλλf f n =.若设n n n n a a a a f 21212120)(++++=--λλλλ ,则n i a a i n i ,,1,0,2 ==-.由定理11可知，辛变换ℜ的特征多项式)(λf 的（复）根λ与λ1是同时出现的，且具有相同的重数.它在P 中的特征值也如此.又||K 等于)(λf 的所有（复）根的积，而1||=K .故特征值1-的重数为偶数.又不等于1±的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1+的重数也为偶数.定理12 设j i λλ,是数域P 上辛空间),(f V 上辛变换ℜ在P 中的特征值，且1≠j i λλ.设iV λ,j V λ分别是V 中对应于特征值i λ及j λ的特征子空间.则j i V v V u λλ∈∈∀,，有0),(=v u f ，即iV λ与j V λ是辛正交的.特别地，当1≠i λ时iV λ是迷向子空间.第十章 双线性函数与辛空间(小结)一、基本概念线性函数；对偶空间。