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同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
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线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1
−→V′ ∑n
−→ aiγi
i=1
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线性空间同构的判别条件
从上式看出，V 中每一个向量 α 都有 V′ 中唯一的向量与 α 对
应. 由于 应于 V′
中γ1不, γ同2, 的· · ·向, 量γn；是并V且′ 的V一′ 中个每基一，个因向此量Vδ中=不∑n同b的iγ向i，量都对
i=1
有 V 中向量 β = ∑n biαi，对应于 δ. 因此 σ 是 V 到 V′ 的一个
i=1
双射. 设 α = ∑n aiαi, β = ∑n biαi, k ∈ P，则
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抽象线性空间坐标化
正是因为数域 P 上任一 n 维线性空间 V 与 Pn 同构，所以 V 与 Pn 才这么相像，它们虽然元素不同，但是有关线性运算的性质 完全一样. 从而我们可以利用 Pn 的性质来研究 P 上 n 维线性空 间的性质.
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线性空间同构的判别条件
从上面的定理立即得出，数域 P 上任一 n 维线性空间 V 都与 Pn 同构. 并且可以如下建立到 Pn 的一个同构映射：在 V 中取 一个基 α1, α2, · · · , αn；Pn 中取标准基 ε1, ε2, · · · , εn. 令
σ :V ∑n
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线性空间同构的判别条件
定理 数域 P 上两个有限维线性空间的充分必要条件是它们的维数相 同.
证 设 V 与 V′ 都是数域 P 上有限维线性空间. 必要性从性质 5立即可得. 充分性. 设 dim V = dim V′ = n. 在 V, V′ 中各取一个基：α1, α2, · · · , αn；γ1, γ2, · · · , γn. 令
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′.
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′. 证 因为 0α = 0，所以
σ(0) = σ(0α) = 0σ(α) = 0′.
命题 (2) 对于任意 α ∈ V，有 σ(−α) = −σ(α).
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′. 证 因为 0α = 0，所以
σ(0) = σ(0α) = 0σ(α) = 0′.
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从而 α1, α2, · · · , αs 线性相关.
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同构映射的性质
命题 (5) 如果 α1, α2, · · · , αn 是 V 的一个基，则 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 V′ 的一个基.
σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = k1α1 + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs).
证 由定义即得. 命题 (4) V 中向量组 α1, α2, · · · , αs 线性相关当且仅当 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αs) 是 V′ 中线性相关的向量组.
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线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论. 为什么数域 P 上 n 维线性空间与 Pn 这样相像？本节就来确切 地阐述这种现象的实质.
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线性空间同构的判别条件
定理 数域 P 上两个有限维线性空间的充分必要条件是它们的维数相 同. 证 设 V 与 V′ 都是数域 P 上有限维线性空间. 必要性从性质 5立即可得.
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命题 (2) 对于任意 α ∈ V，有 σ(−α) = −σ(α).
证 σ(−α) = σ((−1)α) = (−1)α = −σ(α).
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同构映射的性质
命题 (3) 对于 V 中任一向量组 α1, α2, · · · , αs，在数域 P 中任意一组元素 k1, k2, · · · , ks，有
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同构映射的性质
命题 (5) 如果 α1, α2, · · · , αn 是 V 的一个基，则 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 V′ 的一个基.
证 据性质 4 得，σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 V′ 的一个线性无关 的向量组. 任取 β ∈ V′，由于 σ 是 V 到 V′ 的一个满射，因此存 在 α ∈ V，使得 σ(α) = β. 设
σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = k1α1 + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs). 证 由定义即得.
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同构映射的性质
命题 (3) 对于 V 中任一向量组 α1, α2, · · · , αs，在数域 P 中任意一组元素 k1, k2, · · · , ks，有
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′. 证 因为 0α = 0，所以
σ(0) = σ(0α) = 0σ(α) = 0′.
α = aiαi
i=1
−→Pn ∑n
−→ aiεi = (a1, a2, · · · , an)′,
i=1
即把 V 中每一个向量 α 对应它在 V 的一个基 α1, α2, · · · , αn 下 的坐标 (a1, a2, · · · , an)′，这就是 V 到 Pn 的一个同构映射.
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∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi = kσ(α),