2 ( x) / 0 K (ax x 2 ) / 0
22
解：（1）先求正交归一本征函数

d 2 K (ax x 2 ) / 0 g ( x) Ka 2 ( x / a x 2 / a 2 ) 2 dx d2 dx 2 u (0) 0 ； u (a ) 0
XII-2 平面波在无界双各向同性媒质传播。设传播方向为正 Z 方向。求本征波的 传播常数和电场、磁场。 D E H XII-3
B E H
把下列函数在给定的区域做本征展开。
（1） f ( x) x
A
n 0 2

n cos nx Bn cos nx n 1




n
表示对所有可能出现的 TE 和 TM 模求和。于是，求场分布的问题转

化为求系数 Cn 和 C n 的问题。
y
J
z1 z2
图 14-2 波导中的电流源
z
（以下省略）详细叙述参见 波导的激励问题 例题 XII-2
傅君眉编著《高等电磁理论》第六章第 7 节:
平板波导的激励问题
三、非互易媒质中的本征波
式中， a , b 表示 a 与 b 的内积。 取内积，可得
m n m n
(12.5)
n un , g
未知解函数 u 也可以用 un 展开为

u n un
n
于是求 u 的问题转化为求 n 的问题。 代入算子方程，得

n 1

n Ln u n n u n n 1

（2） f ( x) x x
B
n 1

n
sin nx
（3） f ( x) x x
3
B
n 1 4
n
sin nx
（4） f ( x) x x 2 x
2
B
n 1

n
sin nx
本征值 1 ，对应的本征矢为
k H1 0 jkh 0 H 2 h 0
(14-39)
本征值 2 对应的本征矢为
(14-40)
H 1 表示椭圆极化波， H 2 表示线极化波。其传播常数分别为
Lu n n u n
设
n 1,2,
(12.3)
为本征值序列， u 为本征函数系。
n n
若 un 是完备的函数系，则 g 可以用本征函数系 un 展开为


g n un
n
(12.4)
若 un 还为正交归一函数系，即

0 um , un mn 1
1 0 0 r (
2 k2 )
(14-41)
2 0 0 r z
(14-42)
在铁氧体中传播的任何波均可以分解为上述本征波的线性组合。
习题
XII-1
14
平行， 平面波在无界等离子体中传播。 传播方向与外加磁场 B0 B0 z 张量

1 j 2 0 介电常数为 -j 2 1 0 , 试求本征波的传播常数和场表示式。 0 0 3
容易求出正交归一本征函数系
L g ； L d2 L 2 u u dx
列为
u n ( x) C n sin
nx a
2 nx sin a a
（2）把源函数用正交归一函数系展开
g ( x) Ka 2 ( x / a x 2 / a 2 )
二、波导激励问题
如图 14-2 所示，考虑一无限长的波导，其中的电流源 J 位于 z1 z z 2 的区 域内。现在我们要求电流源 J 在 z z 2 和 z z 1 区域中辐射的场。根据本征函数 展开理论， J 所辐射的场可以用无源区域的波导模式场(本征函数系)展开，即 (14-11) 式中，
H H m e j r
(14-20)
(14-21)
考虑无限大空间的均匀平面波，设 (14-22)
式中， H m 为常矢。 (14-27)

（1）
纵向磁化。外场 H 0 与传播方向 平行，这时


jk r -jk 0 0
0 0 z
本征波：有固定的相速度、相移常数的平面波（或者球面波、柱面波） 考虑非互易媒质 0 r , 0 r 。在无源情况下，满足
于是
H j E 0 r E j0 r H 2 H k0 r r H
(14-32)
(14-29)
1 对应的本征矢为
h H1 jh 0

2 对应的本征矢为
式中， h 为任意常数。
h H 2 jh 0
(14-33)
因此， 在纵向磁化时， 对应有两个本征波， 一个是 xoy 平面的右旋(相对于 H 0 ) 圆极化波， H 1 ，对应的传播常数为

(12.6)
比较左右的系数，有
n
n n
例题 XII-1
设平行板电容器的两个极板分别位于 x=0 和 x=a,电容器内
的介质为空气，极板之间填充的电荷体密度为 ( x) K (ax x 2 ) ， 已知两个极板均接地。求电容器内的电位分布。 解：依对称性，容易判断出极板间的电位仅仅是 x 的函数。



1 0 0 r 0 ( k )

(14-34)
另一个本征波是 xoy 平面的左旋(相对于 H 0 )圆极化波 H 2 ，对应的传播常数 为


2 0 0 r 0 ( k )


(14-35)
横向磁化。 H 0 与传播方向垂直。设 H 0 为 y 方向，则 (14-36)
第三章
电磁场基本解法
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
镜像法 分离变量法 本征函数法 格林函数法 并矢格林函数
XII
本征函数展开法
一、本征函数法的基本概念
研究线性算子方程
Lu g
2 2
(12.1)
2 2
例如，对于波动方程 ( k )u f ，则 L ( k ), g f 。 其中线性算子 L 和激励源函数 g 是给定的，位函数或者常函数 u 是待求解的。 引入本征方程 (12.2) Lu u 其中的 称为本征值， u 称为对应于 的本征函数。 若边界有限，则本征值 为离散的。若边界无界，则本征值 为连续的。对 于有限边界而言