标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
x
t 分布与标准正态分布的比较
不同自由度的t分布
t
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取 16只，测得其使用寿命(小时)如 下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
(interval estimate)
在点估计的基础上，给出总体参数估
计的一个区间范围，该区间由样本统计 量加减抽样误差而得到的
根据样本统计量的抽样分布能够对样
本统计量与总体参数的接近程度给出一 个概率度量
区间估计的基本原理
以总体均值的区间估计为例： 样本均值在重复抽样或无限总体抽样的情况下 ， X ～N(μ,σ2/n)。 由正态分布的3 原则： P（－ ≤ X ≤ ＋）=0.6827 P（－2 ≤ X ≤ ＋2）=0.9545 P（－3≤ X ≤ ＋3）=0.9973 实际上，我们可以求出 X 落在总体均值的两侧 任何倍数的标准误差范围内的概率。

2
x z
x z

2
n

2
2
n
x t
2
n
x z

2
n
三、总体比率的区间估计

1. 假定条件
总体服从二项分布
可以由正态分布来近似

使用正态分布统计量 z p z= ~ N (0,1) p(1 p) n 总体比率在1-置信水平下的置信区间为
p z 2
置信区间
(confidence interval)
说明： 1 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真
值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
三、评价估计量的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的
总体参数
ˆ) P(
无偏 有偏
A
B

ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
ˆ) P(
的抽样分布
B A
的抽样分布

ˆ
一致性

+1.65x
+2.58x
x
-1.96x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信区间
1.
2.
由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间
统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间
区间估计
(interval estimate)
样本均值的抽样分布
/2
x
1–
/2
x =
(1 - ) % 区间包含了
x
% 的区间未包含
置信区间
(95%的置信区间)
点估计值

重复构造出的20个置信区间
置信区间
(confidence interval)
2.如果用95%的置信区间得到的某班的学生考试成绩 的置信区间是（60，80）。 不可以说（60，80）这个区间以95%的概率包含 全班学生平均考试成绩的真值。
25袋食品的重量 112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
总体方差的区间估计
x z
2
s 7.77 = 39.5 1.645 n 36 = 39.5 2.13 = 37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
二、总体均值的区间估计
(小样本)
1.
假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知
小样本 (n < 30)
25 1 93.21 2 25 1 93.21
12.401
该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区 间为7.54g~13.43g
例如， P（－1.96≤
X
≤ ＋1.96）=0.95
这意味着， P（ X －1.96≤ ≤ X ＋1.96）=0.95
上式说明，如果抽取100个样本来估计均值，由 100个样本均值所构造的100个区间中，约有95 个区间包含总体的均值。
区间估计的图示
- 2.58x
-1.65 x
16灯泡使用寿命的数据 1510 1520 1480 1500
1450
1480 1460
1480
1490 1460
1510
1530 1470
1520
1510 1470
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x = 1490 ， s = 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题
7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计
7.4 样本容量的确定
学习目标
1.
2. 3.
4.
5. 6.
1、估计量与估计值的概念 2、点估计与区间估计的区别 3、评价估计量优良性的标准 4、一个总体参数的区间估计方法 5、两个总体参数的区间估计方法 6、样本容量的确定方法
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
p z
2
p (1 p ) n
= 65% 1.96
65%(1 65%) 100
= 65% 9.35% = 55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比率的置信 区间为55.65%~74.35%
(例题分析)
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21 2 (n 1) = 02.025 (24) = 39.364 12 (n 1) = 02.975 (24) = 12.401 2置信度为95%的置信区间为
2 2
39.364 = 56.83 2 180.39
四、总体方差的区间估计
1、 估计一个总体的方差或标准差 2、 假设总体服从正态分布 3、总体方差 2 的点估计量为s2,且 n 1s 2 ~ 2 n 1 2 4、总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
n 1s 2 2 n 1s 2 2 2
2 1 2
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来
越接近被估计的总体参数
较大的样本容量
ˆ) P(
B A
较小的样本容量

ˆ
7.2 一个总体参数的区间估 计
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 符号表示 样本统计量
使用 t 分布统计量 x t= ~ t (n 1) s n
总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
x t 2
s n
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
x t
2
s 24.77 = 1490 2.131 n 16 = 1490 13.2 = 1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
总体分布
样本容量
σ已知
σ未知
x z S n
S n
大样本 正态分布 小样本 非正态分布x z S大样本
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0
101.0
107.5 123.5
103.0
95.0 102.0
102.0
108.8 101.6
100.5
115.6 102.2
116.6
136.8
95.4
102.8
97.8
101.5
108.6
98.4
105.0
93.3
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据 样本数据计算得： x = 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
总体均值的区间估计
(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量 质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为 10g 。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
x z

2
10 = 105.36 1.96 n 25 = 105.36 3.92 = 101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36 投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间