第3章 一元线性回归分析
给定解释变量 X i ,模型中的误差项 u i 服从正态 分布,即 ui | X i ~ N (0, i2 ) 其中 i2 Var (ui | X i )
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论10:
如果假设1~假设4满足,则
ˆ ~ N ( , 2 ); ˆ ~ N ( , 2 ) (1) 0 0 1 0 (2) SSR/ 2 ~ 2 (n 2) ˆ , ˆ 独立,由此得出 (3)SSR与 0 1
ˆ 0 ˆ 1
ˆ t 0 0 0 ~ t (n 2), sˆ
0
ˆ t 1 1 1 ~ t (n 2) sˆ
1
sˆ 由课本公式(3.15) sˆ 、 其中, 2ˆ0 、 2ˆ1 、 1 0 给出。
3.4 回归系数检验(t-检验)
估计出参数后需对模型的有效性进行检 验,即检验回归系数是否显著不为零。 例如考虑结论10中统计量(假设1到4全 ˆ 1 部成立) t1 : t ~ t ( n 2)
2 2 ˆ ˆ ˆ SSR ui (Yi 0 1 X i ) i 1 i 1 n n
3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.3
ˆ 和 ˆ 0 1
的分布
ˆ 和 ˆ 渐近服从正态分布, 由矩估计性质知 0 1 但具体方差依对误差项的假设而定。 结论5: 如果假设1满足,则当样本量 n 较大时,OLS估 ˆ 和 ˆ 近似服从正态分布: 计 0 1
1
s ˆ
1
t-检验的涵义:估计参数的绝对值足够大或者 标准误很小(标准误小则随机性小,估计越精 确) 样本量较大时 (n>35),t分布接近正态分布, 5%置信水平下临界值接近2,因此常用统计量 是否大于2作为判断系数显著与否的标准。
3.5 拟合优度 R 和模型检验(F检验)
检验 X 和 Y 之间是否 具有线性关系:看 Y 的变化能被 X 的变化解释多少。 总平方和(total sum squared):
3.7 假设条件的放松
3.7.3 假设条件的放松(三)—非随机抽 样和序列相关
• 同异方差一样,序列相关不影响OLS估计的 无偏性、一致性和渐近正态性。 • 影响参数估计的方差和标准误。 • Newey-West方法(HAC:HeteroskedasticityAutocorrelation Consistent) • 用Eviews 进行Newey-West回归
3.5 拟合优度 R 和模型检验(F检验)
结论: 设模型的截距项 0 0 ,模型误差项满足假 设1,则:(结论11) TSS=ESS+SSR 如果假设1~假设4全都满足,则上面定义的F统计量满足:(结论12)
F ~ F (1, n 2)
2
t-检验和F-检验等价
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松(一)—非正态 分布误差项
• 放松了假设4后,与之相关的结论10和12 不再成立,t-检验、F-检验不再成立。 • 大样本情况下,t-统计量近似服从标准正态 分布,因此可以用标准正态分布临界值进 行判断。 • 去掉假设4不影响OLS估计的一致性、无偏 性和渐近正态性。
假设3(随机抽样: random sample)
样本 (Yi , X i ), i 1,2,, n 是随机抽样产生的,样 本之间相互独立,模型误差项 ui , i 1,2,, n 之 间相互独立。
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论6:
如果假设1~假设3满足,则当样本量 n 较大时, ˆ 和 ˆ 近似服从正态分布,方差计算公 OLS估计 0 1 式为:
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论8:
如果假设1~假设3满足,则当样本量 n 较大时, 如下统计量近似服从正态分布(结论8)
ˆ t 0 0 0 ~ ( a ) N (0,1), sˆ
0
ˆ t 1 1 1 ~ ( a ) N (0,1) sˆ
1
3.3 更多假设下OLS估计量性质
2 ˆ
0
n
1
i1 ( X i X )
n
2 X i1 i n
2 , 2
2 ˆ
1
2
2 ( X X ) i1 i n
3.3 更多假设下OLS估计量性质
结论7:
如果假设1~假设3满足,统计量 n 2 ˆ u SSR 2 i 1 i ˆ n2 n2 是误差项方差 2 的无偏估计和一致估计,即 2 2 2 2 ˆ ˆ E( ) , p limn ˆ 称为回归标准误(standard error of regression), ˆ。 记为 s
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
• 残差将保存在resid中,另外,在回归结果输出界 面点击菜单Forecast ,在弹出的对话框中Forecast name:后面的条形窗口输入变量名,将可以保存 模型的拟合值。
3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松(一)—非正态 分布误差项 3.7.2 假设条件的放松(二)—异方差 3.7.3 假设条件的放松(三)—非随机 抽样和序列相关 3.7.4 假设条件的放松(四)—内生性 3.7.5 总结
解释平方和(explained sum squared):
ˆ Y ˆ )2 ESS i1 (Y i
n
2
TSS i 1 (Yi Y ) 2
n
残差平方和(Sum of Squared Residual):
SSR
2 ˆ u i i 1 n
ESS SSR R 1 TSS TSS
1 n
2 ( X X ) i
ˆ Y ˆX 0
2 ˆ ( 1 1 ( X i X ) i1
n
(X
i 1
i
X )ui )
不带计量性质) OLS估计的一致性(结论1) ˆ 如果回归模型误差项满足假设1,上式给出 0 ˆ 分别为 0 和 的一致估计: 和 1 1 ˆ , ˆ p limn p lim 0 0 n 1 1 OLS估计的无偏性(结论2) ˆ 如果回归模型误差项满足假设1,上式给出 0 ˆ 分别为 0 和 的无偏估计: 和 1 1
3.1 一元线性回归模型
计量经济学用回归模型来描述经济变量 之间的随机关系。
Y 0 1 X u
因变量(被解释变量) 自变量(解释变量) 回归模型参数(回归系数) 误差项(扰动项)
3.1 一元线性回归模型
模型首先要保证 X 的变化不会引起 u 的变化,这称为 X 的外生性,否则 X 对 Y 的影响不能正确确定。
3.7 假设条件的放松
3.7.2 假设条件的放松(二)—异方差
• 异方差不影响OLS估计的无偏性、一致性和 渐近正态性。 • 课本(3.15)式参数估计的方差、标准误不 再正确。 • White异方差稳健标准(Heteroskadesticity Robust Standard Errors) • 用Eviews 检验异方差的存在并进行White稳 健标准误回归
一元线性回归分析
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归 3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松(一)—非正态分布误差 项 3.7.2 假设条件的放松(二)—异方差 3.7.3 假设条件的放松(三)—非随机抽样和序 列相关 3.7.4 假设条件的放松(四)—内生性 3.7.5 总结
重要概念
ˆ ~ ( a ) N ( , 2 ˆ ); 0 0
0
ˆ ~ ( a ) N ( , 2 ˆ ) 1 0
1
3.3 更多假设下OLS估计量性质
假设2(同方差:homoskedasticity)
给定解释变量,误差项条件方差为常数,即 Var (ui | X i ) 2
假设1(零条件均值:zero conditional mean) 给定解释变量,误差项条件数学期望 为0,即 E(u | X ) 0
E(u ) 0
3.1 一元线性回归模型
模型设定要以有关的经济学理论为基础。
样本模型:
Yi 0 1 X i ui , i 1,2,, n
样本矩条件:
ˆ ˆ X )0 n 1 (Yi 0 1 i
i 1 n n
n
1
ˆ ˆ X )X 0 ( Y i 0 1 i i
i 1
3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.1 回归系数估计
OLS估计:
ˆ 1
(X
i 1 n i 1
n
i
X )(Yi Y ) ,
步骤:
• 在估计方法设定窗口选择需要用到的估计方法
• 前面的步骤也可以通过主界面的Quick→Estimate Equation到达 • 点击OK,将输出结果:
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
在结果页面点击顶端按钮Resids,将输出残差图
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归
结论9:
ˆ 和 ˆ 为最有效 如果假设1~假设3满足,OLS估计 0 1 ˆ , ˆ 的方 估计:在 0 , 1 的所有线性无偏估计中, 0 1 差最小。这称为OLS估计的马尔科夫性。
3.3 更多假设下OLS估计量性质
假设4(正态分布: normal distribution)
步骤:
• 先建立Excel数据文件,再将数据导入EViews,建 立工作文件,在数据表格界面点击菜单: Proc→Make Equation,进入模型估计(Equation Estimation)对话框 • 在specification中依 次填入因变量、自变 量和常数项(如果没 有则不写)