一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA ≌△CBE ，∴AD=BE ，∴AD+AB=AE ．在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，∴AE ＝245AC AC cos ︒＝ ∴2AD AB AC +＝.2．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2.（1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.【答案】（1）()22303y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2或1172. 【解析】试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-， 则()22303y x x x =-++<<（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-- 则2241174AD CA x x AC CB x -±=⇒=⇒=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 117+综上所述：边BC的长为2或1172．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．4．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．6．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3)2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE ≌△CDG(SAS)，∴AE ＝CG ，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE ＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB ＝90°，∠AEB ＝∠CEH ，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC ＝90°，∴AE ⊥GC ．(3)如图3中，作CM ⊥DG 于G ，GN ⊥CD 于N ，CH ⊥FG 于H ，则四边形CMGH 是矩形，可得CM ＝GH ，CH ＝GM ．∵BE ＝CE ＝1，AB ＝CD ＝2，∴AE ＝DE ＝CG ═DG ＝FG 5∵DE ＝DG ，∠DCE ＝∠GND ，∠EDC ＝∠DGN ，∴△DCE ≌△GND(AAS)，∴GCD ＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•CM ， ∴2×25， ∴CM ＝GH 45， ∴MG ＝CH 22CG CM -35， ∴FH ＝FG ﹣FG 5， ∴CF 22FH CH +22535()()55+2． 2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α： （1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标； （2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +. 【解析】 【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标； （3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】解：（1）∵A （﹣6，0）、C （0，6），O （0，0）， ∴四边形OABC 是边长为6的正方形， 当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B ，∵OB ＝2，OA′＝OA ＝6，∠OBC ＝45°， ∴A′B ＝626，∴BD ＝（626）21262=-， ∴CD ＝6﹣（1262-=626，∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为（662-6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为)-+；333,333（3）如图③，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，∵P为线段BC′的中点，∴PK＝1OC′＝3，2∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK＝2∴AP最大值为323，AP的最小值为323，AP+.∴AP长的取值范围为323323【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．8．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可． 【详解】（1）OE =OF ．理由如下： 如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下： 延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠． 又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ．证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ． 又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ． 又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．9．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形， ∴60BOE ∠=︒， 而OE CD ⊥， ∴30D ∠=︒． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.10．（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时= _____ __；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=．问题2：（1）=4，．（2）PQ的最小值为．．【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值．（2）由题可知：当QP⊥AC 时，PQ最小．过点C作CD⊥AB于点D．此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=，由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=．所以=．问题2：（1）设对角线与相交于点．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由题可知：当QP⊥AB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP．所以．（2）根据题意画出图形，当AB 时，的长最小，PQ的最小值为．．试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因为∠BCA=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因为AE=nPA，所以PE==CQ=PD=AD-AP=．所以AP=．所以=．问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点．所以G是DC的中点，作QH BC，交BC的延长线于H，因为AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由图知，当AB时，的长最小，即=CH=4．易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分．但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为．．考点：1．直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质；4矩形的判定与性质．。