推导公式
求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q (1-q)Sn=
1 1
已知： 等比数列 { n}，
a
a q， n
1，
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
等差数列 定义 通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
等比数列
an q an 1
an－an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A=
ab 2
(n≥2)
an=a1· qn-1(q≠0) an=am· qn-m
G= ab
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
已知a1, q, n时
通项公式:
已知a1, q, an时
an=a1• q
n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 的和. 1 解: a1 1, q , n 10 2
1 1 1 1， , , , 的前10项 2 4 8
1 1 1 2 S10 1 1 2
设小林30天得到的钱数T30
T30 (1 30) 30 1 2 3 30 465(万元 ) 2
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 2 2 2 （分）
2 3 29
引入新课
同学们考虑如何求出这个和？
2 3 29
S30 1 2 2 2 2 . 2 3 29 2S30 2(1 2 2 2 2 ).
1023 . 512
10

a1 (1 q n ) Sn 1 q
（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3
2 （ 1- 3 ） 解（2）S 3 26 1- 3
3
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2, 10 4 1 ( 1 2 ) 1 (1 2 ) 1023 . S4 15. S10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和: S S 102315 1008 . 10 4 3 3 3 , , , 从第3项到第7项的和. 3. 求等比数列 2 4 8 7 3 1 1 3 1 2 解： a1 , q , S 2 381. 7 2 2 1 128 1 2 3 3 381 9 153 从第3项到第7项的和: S7 .
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn =
a1 ( 1 – q n ) 1–q
7
(q 1)
等比数列前n项求和公式
na1 , (q 1), na1 , (q 1) n S 于是 n a1 a1q S n a1 an q 1 q , (q 1). 1 q , (q 1).
( a1 an ) n Sn= 2 n( n 1) S n na1 d 2
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
S5
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
3 (1 26 ) S6 189. 1 2
1 ( 4) a1 2.7, q , n 6. 3
1 1 2
Hale Waihona Puke 2.6 1 2.7 1 3 91 . S6 40 1 1 3
若q=1, ∴ Sn=
作 减 法
a -a qn
n
Sn na1
1
若：q≠1
a1 (1 q ) Sn 1 q
{
a (1-q )
n
n· a1
1-q
(q=1)
(q=1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
6
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
5 5
等比数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 S n
(1)a1 3, q 2, n 6;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33 S5 . 1 (1.5) 4 1 5 1 (3) a1 8, q , n 5; 8 1 2 2 31
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 1 10%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为:
5 a6 a1q5 300 (1 10%) 300 1.15 483(万元)
这5年的总利润为:
a2(q 1) 1.1 1 S 300 1.1 2015(万元) q 1 1.1 1
2 3
这种求和 的方法,就 是错位相 (1) 减法!
30 S30 1 2 S 2 1 1073741823 分
30 30
即2S30 2 2 2 S30 2S30 1 230
2 2 .
29 30
(2)
≈1073.741万元
等比数列前n项求和公式