图，据此图，下列分析中不．合理的是
A．居民消费价格指数变化幅度相对不大
B．食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大
C．食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数
D．食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致
5．右图是某正方体的侧面展开图，则在正方体中 A．直线 AB 与直线 CD 平行 B．直线 AB 与直线 CD 相交 C．直线 AB 与直线 CD 异面垂直 D．直线 AB 与直线 CD 异面且所成的角为 60°
所以 n≥2 时，(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝(20＋1)＋(21＋2)＋(22＋3)＋…＋(2n－2＋n－1) ＝(20＋21＋22＋…＋2n－2)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]
…7 分
＝2n－1－1＋n(n－2 1)．
…10 分
因此 an－a1＝2n－1＋n(n－2 1)－1，an＝2n－1＋n(n－2 1)．
( ) 6．已知
f (x)＝2x－
1 2
x
，若
f (m)＋f (n)＞0，则
A．m＋n＞0
B．m＋n＜0
C．m－n＞0
D．m－n＜0
A B
D C
7．已知 a，b 都是单位向量，满足|a＋2b|＝|a－2b|，则 cosa，a＋2b＝
A．
5 5
B．2 5 5
C．21
D．
3 2
8．已知 f (x)＝|sin x|cos x，则 A．f (x)的值域为[－1，1]
（1）求 f (x)的最小值；
（2）若
a＞
1 e
，证明，f
(x)＞1－xe－ax．（提示：(e－ax
)＝－ae－ax）
E
D
C
A
B
唐山市 2020~2021 学年度高三年级摸底考试
数学参考答案
一．选择题（单选）：
1~4．BBCD
5~8．DAAD
二．选择题（不定项选）：
9．CD 三．填空题：
10．ABC
16．已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，上下底面都是正方形，下底面棱长为 2，其余各棱长均为 1， 则该四棱台的外接球的表面积为_______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c＝2．有以下 3 个条件： ①2ccos A＝b；②2b－a＝2ccos A；③a＋b＝2c． 请在以上 3 个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
P 在 l 上，且|OF1|＝|OP|，O 为坐标原点，则
A．C 的虚轴长为 4 2
B．∠F1PF2＝90°
C．||PF1|－|PF2||＝2
D．△PF1F2 的面积为 6 2
12．已知 f (x)＝x－xπ2－sin x． A．f (x)的零点个数为 4 C．x 轴为曲线 y＝f (x)的切线
B．f (x)的极值点个数为 3 D．若 f (x1)＝ f (x2)，则 x1＋x2＝π
…10 分
18．解：
（1）由 an＋2＝3an＋1－2an－n＋1 得
an＋2－an＋1－(n＋1)＝2an＋1－2an－n＋1－(n＋1)＝2(an＋1－an－n)，
又 a2－a1－1＝1，所以{an＋1－an－n}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，．
…5 分 （2）由（1）得 an＋1－an－n＝2n－1，所以 an＋1－an＝2n－1＋n，
D．{x|0＜x＜2}
2．若复数 z 满足 z(1＋i )＝2，则|z|＝ A．1－i C．1＋i
B． 2 D．2
3．特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策．某教育行政部门为本地两
所农村小学招聘了 6 名特岗教师，其中体育教师 2 名，数学教师 4 名．按每所学校 1 名体育教
师，2 名数学教师进行分配，则不同的分配方案有
的零售价格和服务项目价格变动对城 100
乡居民实际生活费支出的影响程度．如 右图，是疫情期间我国的居民消费价格 指数与食品类居民消费价格指数折线
95
90 2019 年 7 月 2019 年 10 月
┅居民消费价格指数
2020 年 1 月 2020 年 4 月 2020 年 7 月 ━食品类居民消费价格指数
（2）由（1）可知，PB 在平面 PAD 上的射影为 PE，所以直线 PB 与平面 PAD 所成角为∠BPE ＝45°．
在 Rt△BPE 中， PE＝BE＝ 23AD＝ 3．
所以，在 Rt△DPE 中，
DE＝
1 2
AD＝1，PD＝
PE2－DE2＝
2．
…6 分
以 E 为原点，以→ EA 的方向为 x 轴正方向，|→ EA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
…10 分 …4 分
因为 a＋b≥2 ab，所以 ab≤4，等号当且仅当 a＝b＝2 时成立． 从而 1＋cos C≥32，即 cos C≥12，所以 0°＜C≤60°．
…8 分
S△ABC＝
1 2
aab 和 sin C 分别取得最大值 4 和 23，
因此 a＝b＝2 时，S△ABC 取得最大值 3．
19．（12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60°，E 是
AD 的中点． （1）求证：平面 PBE⊥平面 PAD； （2）直线 PB 与平面 PAD 所成角为 45°，求二面角 C-PE-D 的余弦值．
P
22．（12 分）
已知 a＞0，f (x)＝ax－ln x．
＝0 时，|AB|＝2 3 6． （1）求 E 的方程； （2）设 A 在直线 x＝3 上的射影为 D，证明：直线 BD 过定点，并求定点坐标．
18．（12 分） 在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an－n＋1．
（1）证明{an＋1－an－n}为等比数列； （2）求 an．
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．已知集合 A＝{ x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x＞0}，则 A∩B＝
A．{x|－2＜x＜3}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|－3＜x＜2}
在第一局比赛中，每一匹马上场的概率都是13，可以按照如下方式进行讨论：
若齐威王派出的是 W1，则田忌必然失败； 若齐威王派出的是 W2，则田忌只有派出 T1 才能胜利； 若齐威王派出的是 W3，则田忌派出 T1 或 T2 皆可胜利； 设事件 A＝“在第一局比赛中田忌胜利”，则 A＝W2T1＋W3T1＋W3T2， 则在第一局比赛中田忌胜利的概率是 P(A)＝13×31＋13×13＋13×31＝13．…4 分
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唐山市 2020~2021 学年度高三年级摸底考试 数学
注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效．
B．logc a＜logc b D．loga c＜logb c
( ) 10．若 x2＋a1x 6 的展开式中 x3 的系数是－160，则
A．a＝－
1 2
B．所有项系数之和为 1
C．二项式系数之和为 64
D．常数项为－320
11．已知双曲线 C：x2－by22＝1（b＞0）的一条渐近线 l：y＝2 2x，设 F1，F2 是 C 的左右焦点，点
20．（12 分） 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，
他和齐威王约定，要进行一场比赛．各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中 等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些．比赛共三 局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比 赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．
A．24
B．14
C．12
D．8
4．居民消费价格指数是反映一定时期内城
乡居民所购买的生活消费品和服务项
%
125
居民消费价格指数（上年同月＝100）
目价格变动趋势和程度的相对数，是对 120
城市居民消费价格指数和农村居民消 115
费 价 格 指 数 进 行 综 合 汇 总 计 算 的 结 110
果．通过该指数可以观察和分析消费品 105
C．π 为 f (x)的周期
[ ] B．f
(x)在
0，
π 2
上单调
( ) D．
π 2
，0
为
f (x)图像的对称中心
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．设 0＜a＜b＜1，0＜c＜1，则 A．ca＜cb C．ac＜bc
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率； （2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概 率； （3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）．
21．（12 分） 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1（a＞b＞0）的离心率为 36，直线 l：x＝ty＋1 交 E 于 A，B 两点，当 t