一. 初等阵与初等变换
(左行右列) 左行右列 右列)
一次初等 A B ⇔ B = PA A 一次初等 B ⇔ B = AP → → 行变换 列变换
二. 用初等变换求逆矩阵 初等行 初等行变换 (E A−1) (A E) 三. 用初等变换解矩阵方程 (左行右列) 左行右列 右列) 初等行变换 (E A−1B) 解AX=B⇒X= A−1B X=B⇒ (A B) 初等行 A 初等 E =B⇒ BA −1 解XA=B⇒X= BA−1 B 列变换 BA
AB ≠ BA
AB = A B = BA
AB = 0 ⇒ A = 0 or B = 0 [ ]或( ),初等变换时用→ 初等变换时用→ 或 初等变换时用
AB = 0 ⇔ A = 0 or B = 0
| |,初等变换时用 = 初等变换时用
非退化阵) 非退化阵 ⇔ A ≠ 0 (非退化阵 ⇔ Ax = 0 只有零解⇔ Ax = b 有唯一解
多角度看可逆阵 n阶方阵 可逆 ⇔ AB = BA = E 阶方阵A可逆 阶方阵
⇔ A的行最简形为 ⇔ A与E相抵 ⇔A为初等阵的乘积 的行最简形为E. 与 相抵 为初等阵的乘积 ⇔r ( A) = n (满秩 ⇔ A的行 列)向量组的秩都是 满秩) 的行(列 向量组的秩都是 向量组的秩都是n. 满秩 的行 的行(列 向量组线性无关 ⇔ A的行 列)向量组线性无关 的行
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
《几何与代数》复习要点 几何与代数》
方阵
方 阵 的 特 殊 形 式
反对称 矩阵
方阵 对称 矩阵 对角 矩阵 矩阵 矩阵 可逆 矩阵
矩阵 矩阵 矩阵 矩阵
《几何与代数》复习要点 几何与代数》
特殊矩阵
行矩阵A 行矩阵A1×n: 只有一行, 又名行向量. 只有一行, 又名行向量 行向量. 列矩阵A 只有一列, 又名列向量. 列矩阵An×1: 只有一列, 又名列向量. 零矩阵: 每个元素都是0, 常记为O 零矩阵: 每个元素都是0, 常记为Om×n或O. 单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0, 单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0, 常记为E 常记为E或I. 数量矩阵: kE, kI, 其中k为常数. 数量矩阵: kE, kI, 其中k为常数. 对角矩阵: 常用Λ表示. 对角矩阵: diag{λ1, λ2, …, λn}, 常用Λ表示. 对称矩阵: 对称矩阵: AT = A. 反对称矩阵: 反对称矩阵: AT = −A. 方阵: 行数=列数. 方阵: 行数=列数. 正交矩阵: 正交矩阵: QTQ = QQT = E. 正定矩阵: 正定矩阵: AT = A且∀x ≠θ 有xTAx > 0. 可逆矩阵: 可逆矩阵: AB = BA = E. 初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得. 初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
r ( A* ) = 1, if r ( A) = n −1 0, if r ( A) ≤ n − 2
作用 初等变换 终止矩阵 结 果 r(A)=非0行数 秩 行变换 阶梯阵 非 行数 阶梯阵 极大无 主列对应原矩阵的列 关组( 关组(基) 行变换 行最简形 非主列的线性表示关系 判别解:r 无解r 判别解 1<r2无解 1=r2=n b) 解线性 (A b) 阶梯阵 唯一解 r =r <n无穷多解 唯一解, 1 2 无穷多解 方程组 行变换 基解:非主列变量为 非主列变量为e 基解 非主列变量为 1..en−r Ax=b (A B) B) 行最简形 (AX=B) 行变换 AX=B) 特解:非主列变量为 非主列变量为0 特解 非主列变量为 E) 逆矩阵 行变换 行最简形 (A E)→ (E A−1) 行列式 行 /列 变换 三角形 注意对角线方向的符号 某行(列 有 按此行( 某行 列)有 按此行(列)展开 一非0元素 一非 元素
⇔ 任一 维向量α 都可由行(列)向量组线性表示 任一n维向量 都可由行 列 向量组线性表示 的行(列 向量组是 的基. 向量组是R ⇔ A的行 列)向量组是 n的基 ⇔ A为Rn的两组基下的过渡矩阵 的行 为 的两组基下的过渡矩阵.
的解空间的维数为0. 的列空间的维数为n. ⇔ A的解空间的维数为 ⇔ A的列空间的维数为 的解空间的维数为 的列空间的维数为 为正定阵. ⇔ A的特征值均不为零 ⇔ ATA为正定阵. 的 为正定阵 方阵A与 方阵 与E 相似 ⇔ A = E ⇔ A与E相合⇔A正定 ⇔λi >0 ⇔p=n ⇔A=PTP ⇔∆k>0 与 相合 相合⇔ 正定
应 用A=PΛP −1 计 算f(A) =Pf(Λ)P−1 用 =Pf( 化实二次型为 标准形
特 征 值 和 特 征 向 量
|λE–A| = |λE–(P−1AP)| AP)| tr(A |A ∑λi = tr(A), Πλi = |A| |λE–A| = |λE–AT| Aξ =λξ ⇒f(A)ξ =f(λ)ξ 性 质
• |A| |A|. A LλAs LA = λ A 1 n
cs + λct
应用
几 何
伴随矩阵: =(A 伴随矩阵: A*=(Aji), AA*=|A|E =|A 逆矩阵: /|A 逆矩阵: A−1 = A*/|A| 级子式≠ 任一k(>r)级子式 级子式=0 秩:r(A)=r⇔∃r级子式≠0,任一 ⇔ 级子式 任一 级子式 特征多项式: 特征多项式: |λE−A| 叉积/ 叉积/混合积 面积/ 面积/体积
等价 定义 定 义 等价类 不变量 关系 矩阵 实对称阵相似 特征值同，p,q同 代表 相似， 相合；反之不然. 实对称阵相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然. B = P1 L Ps AQ1 L Qt 相抵标准形 ①秩 m×n × 相抵 R ( r) Pi , Q j 为初等阵 Em×n 相似
线性 方程组 Ax=b
பைடு நூலகம்
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
(A b)→ rref b) 用 基解:非主列变 基解 非主列变 相似: 相似: P−1AP=B 量=e1..en−r TAP=B 相合: 相合: P 特解:非主列 特解 非主列 正定: 正定: AT=A, xTAx>0 (∀x≠θ) 变量 变量=0
1) r(Am×n) ≤ min{m, n} × 2) A,B相抵 ⇔A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆). 同型, PAQ) P,Q可逆 可逆).
矩阵的秩
非零子式的最高阶数
3) r(Am×n) = r ⇔ A→ E
⋅ A ∈ R s×n , B ∈ R n×t , r ( A ) + r ( B ) − n ≤ r ( AB ) ≤ min {r ( A ) , r ( B )}
行列式与矩阵的区别 m×n矩阵 × 矩阵 定义 A∈ Rm×n 加法 A± B = ( aij ± bij )
= ( 2A LAi1 + Ai2 L2An ) 1
1 1 i n 1 2 i
1 1 i n 1 2 i
n阶行列式 阶行列式
A : Rn×n → R
A± B ≠ A ± B
A LAi1 LAn ± A LAi2 LAn 1 1
方阵的行列式
定义 性质 计算 • |A | = |A|. • |A|
(−1) N ( j1 j2 L jn ) a1 j1 a2 j2 L anjn ∑ cs ↔ ct T
−|A|.
1. 化为三角形行列式 2. 箭形行列式的计算 化为三角形行列式 行列式按行( 3. 行列式按行(列)展开 ∑ aik Ajk = |A|δij , 4. 提公因子法 5. 降阶递推法 6. 分解行列法 克拉默法则: n元方程组Ax=b, |A|≠0 元方程组Ax=b, |A|≠0 克拉默法则: xj=Dj /D 矩阵
几何与代数总复习
主讲: 主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘 AB: 交换律消去律 AB: 转置: (AB) 转置: (AB)T=BTAT 秩: r(A)=行(列)秩 )=行 分块运算: 分块运算: 分块转置 初等行( 初等行(列)变换 Ak , f(A) |A|: tr(A)=Σ tr(A)=Σaii: Rn×n →R A−1: AB=BA=E AB=BA= A*=(Aji): AA*=|A|E =(A =|A Eigen pair: Aα=λα (α≠θ) pair: Rn×n →R
P AP = E
−1
Aξ = λξ 其中ξ ≠ θ
|λE–A| = 0 (λE–A)x = 0 相似对角化
定 义 计 算
P l.i.的特征向量 ⇔A有n个l.i.的特征向量 A(复)∼Λ⇔r(λiE−A)=n−ni )=n A有n个不同特征值⇒A∼Λ 有 个不同特征值⇒
–1AP=diag(λ ,…,λ ) AP=diag( 1 n
( A LA LA ) + ( A LA LA )
n
( A LA LA ) − ( A LA LA ) = ( 0LA − A L0) 数乘 λA = ( λaij )
n
= A LAi1 ± Ai2 LAn 1
1 i
2 i
λA = λ A
n
乘法 符号
n AB = ∑aikbkj k=1
× Rn×n
∃ P 可逆 , s .t .
B = P −1 AP
∃Q正交, s.t ., B = Q −1 AQ
= QT AQ ∃P可逆, s.t .
正交 相似 相合
× Rn×n,
实对称
× Rn×n
Λ= O λn
特征值, 若A可相似 ②特征值 可相似 迹,行列式 行列式 对角化 λ1 ①秩 ①② ③
5) If AB = 0, then r ( A ) + r ( B ) ≤ n.
A O A O 8) r ≥ r ( A) + r ( B) = r O B C B n, if r ( A) = n