⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
F 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学
的联系---- ，从而求出 M或 F。
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水
平桌面上转动，求摩擦力的力矩
解：杆上各质元均受摩擦力作用，
但各质元受的摩擦阻力矩不同。
细杆的质量密度
三、角量与线量的关系
线量 速度、加速度 角量 角速度、角加速度
v r
at r
an
r
2
v2 r
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；
各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比，距
离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向
加速度和法向加速度也越大。
例：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为： t 0(1e ), 式中 0 2 90 0r sad s1
(2) 力在转动平面外
(1) 力在转动平面内
Z Mz
OdrP
f
力矩 M z r f转动平面
Mz rfsin Mz rf
Z
f
f1
O rP f2
转动平面
任意方向的力对转轴
的力矩
Hale Waihona Puke 取其在转动平面内的分力 f2
方向：右手螺旋法则
产生力矩。
（3） 几个外力产生的合力矩
M M 1 M 2 M n
角位移:描写刚体位置变化的物理量。
刚体初始角坐标 0
末态角坐标
o
P
0
x
刚体的角位移
0
明确：
角位移较大时是标量；
参考方向
角位移很小时是矢量。
0时是矢量。
刚体运动学中所用的角量关系如下：
角速度 d
r v角加速度
dt
d
dt
d2
dt2
角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度
是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示
F3
如果是定轴转动:
r
F2
M M 1 M 2 M n
是各分力产生的力矩的代数和.
F1
（4） 一对内力对转轴的力矩
由于成对内力大小相等,方向相反
d
则其力臂必相同.故力矩大小相等.
M 1 F 1 r 1 si1 n F 1 d
M 2 F 2 r 2 si2 n F 2 d
一对内力M 对转M 轴1 的M 合2 力0矩为零.
角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向。
d
dt
加速转动 减速转动
线速度与角速度的关系：
方向一致 方向相反
v r
在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时，
相应公式:
0 0t12t2
0t
类似于
2022( 0) 匀变速直线运动
0
2
但是 非匀变速转动时：
求 导 求 导 积分 积分
求： ⑴t =6 ·0 s时的转速 ； ⑵角加速随时间变化的规律； ⑶启动后6 ·0 s 内转过的圈数。
解：⑴根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 ·0 s 代入，即
得：
t
0 (1 e) 0 90 5 8 6 (ra s 1 d )
⑵角加速度随时间变化的规律为：d d t 0e t 45 e t(ra s d 2)
r1 r2
F1
F2
由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合 内力矩为零.
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
设刚体中质元mi受外力Fi ,内力fi 作用
由牛顿定律 F if i Δ m ia i
在自然坐标中,切向分量为:
fi
ri •mi
Fi
F itfitΔ m iait
其中
ait
dvi dt
（或任意两点之间的距离始终保持不变）
5.1.3 刚体的运动及描述
（只讨论定轴转动）
定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
各质元均作圆周运动，其圆心
o
转轴 都在一条固定不动的直线（转
轴）上。各质元的线量一般不
同（因为半径不同）但角量
（角位移、角速度、角加速度） 都相同。
∴描述刚体整体的运动用角量最方便。
m l
质元质量 dm dx
o xl dm m dx x
质元受阻力矩 dM 阻dmgx
细杆受的阻力矩
M阻
由细杆质量
m dM 阻l有0l M g阻 xdx1212mggl2 l
第二类问N 题：已知J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。
如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳
M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体，
故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。
对m1 ： m1g –T1=m1a 对m2 ： T2–m2g = m2a
a T1 P
T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳
T1
与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和
m1
T2 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得
m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受
m1g m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变，