正余弦定理知识要点:1、正弦定理：或变形:2、余弦定理：或3、解斜三角形的常规思维方法是：（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,…【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ）A. cosA>sinB 且cosB>sinAB. cosA<sinB且cosB<sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinAD. cosA<sinB且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：，特别地,正弦定理专题：公式的直接应用1、已知中，，，，那么角等于（）A. B. C. D.2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ）A. 30 °B. 60 °C. 60 或120 ° D 30 或1503、的内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. 2 C. D.4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ）A. B. C. D.5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ）A. B. C. D.6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（）7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ）A . B. C . D .& △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）A .B .C .D .9、在△ AB（中，证明：。

证明：由正弦定理得：专题：两边之和1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = （,）2、已知的周长为，且．（1 ）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数．专题：三角形个数1、△ AB(中, △ A=60 °,a=, 么满足条件的△ ABC( ( )A•有一个解B•有两个解C无解 D.不能确定2、△ AB(中,a=1,b=,△ A则0°等于（B ）A. 60 °B. 60 或120 °C. 30。

或150 °D. 120 °3、在△ AB（中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D ）A.b = 10，A = 45 ，°B = 70 °B.a = 60，c = 48，B = 100 °C.a = 7，b = 5，A = 80 °D.a = 14，b = 16，A = 45 °4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D ）A.a=1,b=2 ,c=3B.a=1,b= , △A=30°C.a=1,b=2, △A=100° C.b=c=1, △B=45°5、在△ AB（中, a= 12, b = 13, C= 60°此三角形的解的情况是（ B ）A.无解B. —解C.二解D.不能确定6、满足A=45 ° ,c= ,a=的△ ABC勺个数记为m,则a m的值为（A ）A. 4B. 2C. 1D.不定7、已知△ AB（中, 121 °则此三角形解的情况是无解&在△ AB（中，已知，，，则边长。

或专题：等比叠加1、△ AB（中，若，，则等于（A ）A .2B .C . D.2、在△ AB（中, A=60 ° , b=1 面积为，则= .专题：变式应用1、在厶AB（中，若△ A: △ B: △ C=ft2：3,2、已知△ AB （中, a△ b△—1 △△则A A B△等于(A)A.2^3B. 2^ 3^1 (.1：3：2D. 3：1：23、在厶AB(中,周长为7.5cm ,且si nA： si nB： si nC—4：5：6,下列结论：①②③④其中成立的个数是( ( )A.0 个B.1 个(.2 个D.3 个4、在△ AB（中，已知边，，求边a、b的长。

解：由，,可得，变形为sinAcosA=sinBcosB, △ sin2A=sin2B,又厶b, △ 2A=2B, △ A+B=. △△ AB直角三角形.由a2+b2=102 和，解得a=6, b=8。

5、在△ AB（中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若，贝U _________________6、设锐角三角形的内角的对边分别为，.（1）求的大小；A. B. C. D.9、 三角形的两边分别为 5和 3，它们夹角的余弦是方程的根，A ．52B ．(．16D ．410、 在厶AB (中，已知 AB=4, AC=7, BC 边的中线，那么 11、 设 A 、B C 为三角形的三内角，且方程(sinB —sinA)x2+(sinA — sinC)x +(sinC — sinB)=0有等 根,那么角 B ( D )A . B>60°B . B > 60 ° C. B<60° D . B < 60 °(sinA-sin( )2-4 (sinB-sinA)(sin(-sinB) =sin2A-2sinAsin( +sin2(-4(sinBsin(-sinAsin(-sin2B+sinAsinB) =(sinA+sin( )2-4sinB(sinA+sin( )+4sin2B=(sinA+sin(-2sinB)2 专题：判断三角形 1、 若，^U △（ A ）A. 一定是锐角三角形B. 可能是钝角三角形C. 一定是等腰三角形D. 可能是直角三角形2、 在厶AB （中，角均为锐角，且则 △ ABC 勺形状是（ C ）2）求的取值范围． 专题：求取值范围△ AB （中，已知60 °,如果△ ABC 两组解，贝U x 的取值范围（C ） B . （. D . 已知锐角三角形的边长分别为 B . C .D .1、A ．2、 A ．3、在锐角中,则的值等于 答案：设由正弦定理得 由锐角得, 又,故,所以2、3、x ,贝U x 的取值范围是（，的取值范围为余弦定理专题：公式应用1、 在厶 AB （中, a = 3, b =, c = 2, A ． 30° B ．45°2、 在三角形中，，则的大小为（ A ．3、 长为 5、7、 那么 C ． ） B 等于（60°） D ． 1204、 5 A. 90在△ AB （中,在△ AB（中,B ． （． 8 的三角形的最大角与最小角之和为 D ．B. 120150°,则若,则(B.C. 135)D. 150D.（. ,则的值为（ 37A 为（C ） （． ,则最大边的取值范围是在△中，三边长分别为 A ．38B ． 在厶AB （中，已知，则角 A ． B ．&在钝角△ AB （中，已知， 9、设a 、b 、c 是的三边长，对任意实数 乂，有（6、7、D C ．)36 D ． 35D ．贝三角形的另一边长为（ B ）BC=8、勺内角勺对边分别为，根据下列条件判断三角形形状： 9、若（a+b+c ）（b+c — a ）=3abc,且 sinA=2sinBcosC,那么△ AB （是 （ B ）A .直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D .等腰直角三角形10、在厶AB （中，已知，那么△ AB 一定是）等腰直角三角形D . 正三角形A .直角三角形B .等腰三角形C . 11、 在厶AB （中，若，贝U△ ABC 勺形状是（D )A .等腰三角形B .直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰或直角三角形12 在中，，，分别为角， ， 所对边，若，贝此三角形一 定是（ C )A •等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形13、 在厶AB （中，若，贝U △ ABC 勺形状是（B )A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形14 、 已知锐角三角形的边长分别为 1， 3， a ， 贝 a 勺范围是（B )A .B . (. D .15、 A 为△ ABC 勺一个内角，且sinA+cosA=,则 △ AB (是 三角形 钝角 16、 在厶AB （中，已知，，试判断△ ABC 勺形状。

解：由正弦定理得： ，，。

所以由可得： ，即：。

又已知，所以，所以，即， 因而。

故由得： ，。

所以， △ABC 为等边三角形。

17、 已知的三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为，向量 ，且. （ 1 ）求角 A 的大小；（ 2 ）若，试求当取得最大值时的形状 . 9.解：（ 1 ）由又因为 解得分A. 直角三角形B. 锐角三角形 3、△ AB （中，，，则厶AB 一定是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 （ D ）C. 等腰三角形D. 等边三角形 4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形 5、 △ AB （中,,贝U △ ABC 定是A. 直角三角形B. 钝角三角形 6、 在△ AB （中，若，贝U △ AB 是（ B A .有一内角为30 °勺直角三角形 （ ．有一内角为 30°的等腰三角形 7、 若勺内角勺对边分别为，且则（（. 钝角三角形D. 由增加勺长度决定（ D ）（. 等腰三角形 D. 等边三角形）B. 等腰直角三角形 D .等边三角形A .为等腰三角形B. 为直角三角形（ .为等腰直角三角形D.为等腰三角形或直角三角形△）在， ・ ? 即,又由（ △）知所以，为正三角形18、在△ ABC 中，求分别满足下列条件的三角形形状： ① B=60° ,b2=a ；c ①由余弦定理.由a=c 及B=60°可知△ AB 为等边三角形. ② b2tanA=a2tanB ；②由△人=或 A+B=90°, △△ ABC 等腰△或 Rt △. ③ sinC=③，由正弦定理：再由余弦定理：④ （a2 －b2）sin （A+B ）=（a2+b2）sin （A －B ）. ④由条件变形为 △ △ AB 是等腰△或 Rt △.专题：1、 在厶AB （中，如果，那么等于 。