正余弦定理知识要点：1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…【例题】在锐角三角形ABC 中，有 （ B ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，2a b c r +-=斜直正弦定理专题：公式的直接应用1、已知ABC △中，a =b =60B =o ，那么角A 等于（ ） A ．135o B ．90o C ．45o D ．30o2、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ C ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150°3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===o ，则等于（ ）AB．2 CD4、已知△ABC 中，30A =o ，105C =o ，8b =，则a 等于（ B ）A ．4 B. C. D.a5、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3106、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31sin =A ，B b sin 3=，则a 等于 ． （33）7、△ABC 中，45B =o ，60C =o ，1c =，则最短边的边长等于（ A ）A .3 B.2 C . 12D . 28、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ C）A .13 B .12 C .34 D .09、在△ABC 中，证明：2222112cos2cos b a b B a A -=-。

证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A由正弦定理得：2222sin sin b Ba A =2222112cos 2cos b a b Ba A -=-∴专题：两边之和1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ . （61236-,24612-）2、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．专题：三角形个数1、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC( C ) A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ B ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°3、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°5、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ B ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ A ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是 无解8、在△ABC 中，已知b =，150c =，30B =o ，则边长a = 。

或 专题：等比叠加1、△ABC 中，若60A =o ，a =sin sin sin a b c A B C+-+-等于（ A ）A .2B . 12 D.2、在△ABC 中，A=60°, b=1, 面积为3，则sin sin sin a b c A B C ++++= .3专题：变式应用1、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 2:3:12、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1：3：2D ．3：1：23、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4、在△ABC 中，已知边10c =, cos 4cos 3A bB a ==，求边a 、b 的长。

解：由，sinB sinA ,可得 ， 变形为sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B,又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC 为直角三角形. 由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。

5、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。

6、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．专题：求取值范围1、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( C)A ．2>xB ．2<xC ．3342<<xD ． 3342≤<x 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ B ）A ．51<<xB ．135<<xC ．50<<xD ．513<<xcos cos A b B a =b a =cos sin cos sin A B B A =2π43b a =3、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 2 答案 ：设由正弦定理得 由锐角得，又，故，所以 余弦定理专题：公式应用1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（C ） A ． 30° B ．45° C ．60°D ．120°2、在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为（ ）A ．23πB ．56πC ．34πD ．3π 3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B )A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°4、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝ 75、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ）A. 090B. 060C. 0120D. 0150ABC ∆1,2,BC B A ==cos AC A AC )3,2(,2.A B θθ∠=⇒=,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒=ABC ∆0290045θθ<<⇒<<o o o o 01803903060θθ<-<⇒<<o o o oo 3045cos θθ<<⇒<<o o6、在△ABC 中，三边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为（ D ）A ．38B ．37C ．36D ．357、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（C） A ． 3π B ．6π C ．32π D ．3π或32π 8、在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

3c <<9、设a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，对任意实数x ，222222()()f x b x b c a x c =++-+有（ B ）A.()0f x =B.()0f x >C.()0f x ≥D.()0f x <9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ B ）A ．52B ．C ．16D ．410、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= 9 11、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ D ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°(sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin²A -2sinAsinC+sin²C -4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB)=(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC -2sinB)²25760x x --=专题：判断三角形1、若tan tan 1A B >，则△ABC （ A ）A. 一定是锐角三角形B. 可能是钝角三角形C. 一定是等腰三角形D. 可能是直角三角形2、 在△ABC 中，角均为锐角，且则△ABC 的形状是（ C ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3、△ABC 中，60B =o ，2b ac =，则△ABC 一定是 （ D ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度决定5、△ABC 中，cos cos cos a b c A B C==，则△ABC 一定是 （ D ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形6、在△ABC 中，若cC b B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ B ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形,A B ,sin cos B A >7、 若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则（ ） A ．ABC △为等腰三角形 B ．ABC △为直角三角形C ．ABC △为等腰直角三角形D ．ABC △为等腰三角形或直角三角形 8、ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，根据下列条件判断三角形形状：2222(1).()()3sin 2sin cos _______(2).()sin()()sin()_______.a b c b c a bc A B C ABC a b A B a b A B ABC +++-==+-=-+，且，则△是；，则△是9、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形11、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（D ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（ C ）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形13、在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ B ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ B ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,1015、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 钝角 16、在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。