高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。
6、设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
8．设函数)0(1)(≠+=x xx x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g .（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ⋅=+-； ②(2)0f =；③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)21()1(f f 及的值；（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，321)(x tx x f -=（t 为常数）。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）；（3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。
11.记函数()272++-=x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ， （1）求A ：（2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围12、设()()1,011≠>-+=a a aa x f xx 。
（1）求()x f 的反函数()x f 1-：（2）讨论()x f1-在()∞+.1上的单调性，并加以证明：（3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞⊂,1,时，()x f1-在[]n m ,上的值域是()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。
13．集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的：(1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥，及21()46()(0)2x f x x =-⋅≥是否属于集合A ？并简要说明理由．（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ，是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．14、设函数f(x)=ax 2+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎩⎨⎧<->)0()()0()(x x f x x f（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。
（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
15．函数f(x)=bax x+(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。
(1)求a 、b 的值；(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
函数大题专练答案２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
解：（1） 当[]0,1x ∈时，总有2g x x 0()=≥，满足①，当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，22221212121212g x x x x 2x x x x g x g x +=++≥+=+()()()，满足（2）因为h （x ）为G 函数，由①得，h(0)0≥,由②得，h(0+0)≥h(0)+h(0) 所以h(0)=0,即a-1=0,所以a=1； （3）根据（２）知： a=1，方程为x x 42m -=，由x 02110x 1⎧≤-≤⎨≤≤⎩ 得 x 01∈[,] 令x2t 12=∈[,]，则2211m t t t 24=-=--() 由图形可知：当m 02∈[,]时，有一解；当m 02∈-∞⋃+∞(,)(,)时，方程无解。
７．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
解：（1）由不动点的定义：0)(=-x x f ，∴0)1(2=--+b x b ax代入1=x 知1=a ，又由3-=x 及1=a 知3=b 。
∴1=a ，3=b 。
（2）对任意实数b ，)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程0)(=-x x f 总有两个相异的实数根。
∴0)1(2=--+b x b ax 中04)1(2>+-=∆ab b ，即01)24(2>+-+b a b 恒成立。
故04)24(21<--=∆a ，∴10<<a 。
故当10<<a 时，对任意的实数b ，方程)(x f 总有两个相异的不动点。
………...................1’（3）)(x g 是R 上的奇函数，则0)0(=g ，∴（0，0）是函数)(x g 的不动点。
若)(x g 有异于（0，0）的不动点),(00x x ，则00)(x x g =。
又000)()(x x g x g -=-=-，∴),(00x x --是函数)(x g 的不动点。
∴)(x g 的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，所以有k 2个（k N ∈），加上原点，共有12+=k n 个。
即n 必为奇数 ８．设函数)0(1)(≠+=x xx x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g .（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标. 解．（1）设),(v u p 是x x y 1+=上任意一点，uu v 1+=∴ ① 设P 关于A （2，1）对称的点为⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+∴y v xu y v x u y x Q 2424),,( 代入①得4124142-+-=⇒-+-=-x x y x x y ));,4()4,((412)(+∞⋃-∞∈-+-=∴x x x x g（2）联立,094)6(4122=+++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-==b x b x x x y b y004)94(4)6(22=⇒=-=+⨯-+=∆∴b b b b b 或,4=b（1）当0=b 时得交点（3，0）； （2）当4=b 时得交点（5，4）. 9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ⋅=+-； ②(2)0f =；③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)21()1(f f 及的值；（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.解（1）取a=b=1，则(1)2(1) 1.(1)1f f f =-=故 又11(1)(2)(2)()122f f f f =⋅=+-. 且(2)0f =.得：1()(1)(2)11122f f f =-+=+=（2）设,021x x <<则：222111111()()()()[()()1]x x f x f x f x f x f f x x x -=⋅-=+-1()f x -21()1x f x =- 依1,01221><<x x x x 可得 再依据当1>x 时，总有()1f x <成立，可得21()1x f x < 即0)()(12<-x f x f 成立，故),0()(+∞在x f 上是减函数。