(1)质点从 A 点转过 90°到达 B 点的速度的变化量．
(2)质点从 A 点转过 180°到达 C 点的速度的变化量．
解析：(1)由 v＝2Tπr得
vA＝vB＝vC＝2×33..1144×2
m/s＝4
图甲 m/s，将初速度 vA
平移到 B 点，作出速度的变化量 Δv，如图甲所示．
7
则 Δv＝ vA2 ＋vB2 ＝4 2 m/s，其方向斜向左下方，与 vB 的方向成 45°角．
8
知识点二 感受圆周运动的加速度 提炼知识 1．实例分析． (1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受太阳 的力是万有引力，方向由地球中心指向太阳中心． (2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上 的图钉做匀速圆周运动．小球受到的力有重力、桌面的支 持力、细线的拉力．其中重力和支持力在竖直方向上平衡， 合力总是指向圆心．
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮 子的半径不一样，A、B、C 是它们边缘上的三个点，探 究下列问题：
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？ (2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？ 提示：(1)B、C 两点．(2)A、B 两点．
28
1．向心加速度的几种表达式．
2．向心加速度的大小与半径的关系． (1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平 方成正比，也与线速度的平方成正比；随频率的增大或 周期的减小而增大．
第五章 曲线运动
1
第五节 向心加速度
学习目标
1.理解匀速圆周运动中的 速度变化量和向心加速 度的概念． 2.知道向心加速度和线速 度、角速度的关系式． 3.能够运用向心加速度公 式求解有关问题.
重点 难点
重点难点 1.向心加速度的表达式． 2.向心加速度的方向．
向心加速度公式的理解、 应用.
2
知识点一 速度的变化量 提炼知识 1．速度的变化量． 速度的变化量是指运动物体在一段时间内末速度与 初速度之差，即 Δv＝v2－v1．速度的变化量是矢量，既 有大小，又有方向．
20
3．圆周运动的性质． 不论向心加速度 an 的大小是否变化，an 的方向是时 刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，
圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”
的“匀速”应理解为“匀速率”． 4．变速圆周运动的向心加速度． 做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆
心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加 速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度 表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加 速度的方向也总是指向圆心．
14
判断正误 1．圆周运动的加速度一定指向圆心．( ) 2．曲线运动中，v1、v2 和 Δv＝v2－v1 的方向一般不 在一条直线上．( ) 3．匀速圆周运动的向心加速度大小不变．( ) 答案：1.× 2.√ 3.√
15
小试身手 3．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是 () A．由 an＝vr2知，匀速圆周运动的向心加速度恒定 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度 的大小 C．匀速圆周运动不属于匀速运动 D．向心加速度越大，物体速率变化越快
3
2．速度变化量的计算． (1)同一直线上的速度变化量：
图1
图2
图3
4
(2)不在同一直线上的速度变化量：当 v1 和 v2 不在同一 直线上时，如图 3 所示，物体做曲线运动．作图时将初速 度 v1 平移到 B 点，从 v1 的末端作 Δv 至 v2 的末端，则 Δv 即为速度的变化量．
(3)速度的变化量是矢量，有关计算遵从矢量运算的三 角形定则或平行四边形定则．
答案：ABD
26
2.荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千荡到最
高点时，小孩的加速度方向是图中的( )
A．a 方向
B．b 方向
C．c 方向
D．d 方向
解析：当秋千荡到最高点时，小孩的速度为零，沿 半径方向的向心加速度为零，加速度方向沿圆弧的切线 方向，即图中的 b 方向，选项 B 正确．
答案：B
27
36
2.如图所示为咬合传动的两齿轮，RA＝2RB，则两轮 边缘上两点 A、B 的( )
A．角速度之比为 2∶1 B．向心加速度之比为 1∶2 C．周期之比为 1∶2 D．转速之比为 2∶1 解析：A、B 两点的线速度 v 大小相等，由 v＝ωr 得
ωA∶ωB＝1∶2，由 an＝vr2得 aA∶aB＝1∶2，由 ω＝2πn
32
(2)P 和 Q 为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度 相等，选用 an＝vr2计算向心加速度．
解析：同一轮子上的 S 点和 P 点的角速度相同，即 ωS＝ωP.由向心加速公式 an＝ω2r，
得aaPS＝rrPS，故 aS＝rrPSap＝13×12 m/s2 ＝4 m/s2； 又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各 点的线速度大小相等，即 vP＝vQ，
解析：做匀速圆周运动的小球的加速度就是向心加 速度，其方向指向圆心，B 项正确．
答案：B 13
知识点三 向心加速度 提炼知识 1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指 向圆心，这个加速度叫作向心加速度． 2．公式：①an＝vr2；②an＝ω2r． 3．方向：沿半径方向指向圆心，时刻与线速度方向 垂直．
11
判断正误 1．匀速圆周运动所受的合力和加速度总指向圆 心．( ) 2．匀速圆周运动的线速度大小不变，所以加速度为 零．( ) 3．匀速圆周运动是加速度不变的运动( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
12
小试身手 2．细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光 滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到 P 点时的 加速度方向，下列图中正确的是( )
(2)将初速度 vA 平移到 C 点，作出速度的 图乙 变化量 Δv′，如图乙所示，取 vA 方向为正方向， 则 Δv′＝－vC－vA＝－8 m/s，“－”号表示 Δv′方向与 vA 方向相反．
答案：(1)4 2 m/s 方向斜向左下方，与 vB 的方向 成 45°角
(2)8 m/s 方向与 vA 方向相反
31
[典例❷]如图所示，一个大轮通过皮带 拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动， 大轮的半径是小轮半径的 2 倍，大轮上的一点 S 离转动 轴的距离是大轮半径的13.当大轮边缘上的 P 点的向心加 速度是 12 m/s2 时，大轮上的 S 点和小轮边缘上的 Q 点的 向心加速度各为多少？
[思路点拨] (1)P 和 S 在同一轮上，角速度相同，选用 an＝ω2r 计算向心加速度．
答案：AD
24
1．(多选)关于向心加速度，以下说法正确的是( ) A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度 的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆 心
25
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方 向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与 速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项 A、B 正确； 物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方 向始终指向圆心，选项 D 正确；物体做变速圆周运动时， 物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指 向圆心，选项 C 错误．
21
[典例❶] (多选)关于向心加速度，以下说法中正确 的是( )
A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的 合加速度
B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加 速度
C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向 圆心
22
[思路点拨] (1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的 合加速度； (2)物体做变速圆周运动时，既有向心加速度，也有 切向加速度，合加速度是向
解析：物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物 体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只 是合加速度的一个分量，A 正确，B 错误．物体做匀速圆 周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆 心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与 切向加速度的合加速度不再指向圆心，C 错误，D 正确．
16
解析：加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此 为变量，所以选项 A 错；由向心加速度的意义可知选项 B 对，D 错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周 运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，选项 C 对．
答案：BC
17
如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球绕细 绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请探究下列问 题：
29
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比． (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比． (4)an 与 r 的关系图象：如图所示．由 anr 图象可以看 出：an 与 r 成正比还是反比，要看 ω 恒定还是 v 恒定．
30
3．向心加速度的注意要点． (1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与 速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改 变速度的大小．向心加速度的大小表示速度方向改变的 快慢． (2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加 速度的计算，包括非匀速圆周运动．
33
由向心加速度公式 an＝vr2，得aaQP＝rrQP， 故 aQ＝rrQPap＝2×12 m/s2＝24 m/s2. 答案：4 m/s2 24 m/s2
34
★规律总结 向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化 关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间 的关系．在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速 度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)地球、小球所受外力的合力方向有什么特点？ (2)根据牛顿第二定律，加速度方向如何？ (3)向心加速度能描述速度大小变化的快慢吗？