平方差公式的几何背景（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2019春•石景山区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是 A ．B ．C ．D ．2．（2019秋•海淀区校级月考）如图所示，已知边长为的正方形纸片，减掉边长为的小正方形后，将剩下的三块拼接成一个长方形，则这个长方形较长的边长为 A ．B ．C ．D ．3．（2019春•平谷区期末）根据如图可以验证的乘法公式为 A ．B ．C ．D ．4．（2018秋•海淀区校级期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为 a b +a b -()a b >()4ab 2ab 2b 2a a b ()a b +a b -2a b +22a b +()22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+22()ab a b a b ab +=+a b ()a b >a b ()A ．B ．C ．D ．无法确定二．填空题（共5小题）5．（2019秋•朝阳区期末）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式 ．6．（2019秋•丰台区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为 ．7．（2019春•延庆区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是，另一条边长是 ．8．（2019•平谷区一模）如图，从一个边长为的正方形的一角上剪去一个边长为的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含，的等式表示）．222()2a b a ab b -=-+222()2a b a ab b +=++22()()a b a b a b -=+-4a +a (0)a >(3)a +a a ()b a b >a b9．（2016春•门头沟区期末）在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是 ．三．解答题（共5小题）10．（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算： ；请画图说明这个等式．11．（2017春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是，宽是，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式．a b ()()x a x b ++=22a b -a b +a b -22()()a b a b a b +-=-（1）观察图3，请你写出，，之间的一个恒等式 ． （2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： ．（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．12．（2016春•顺义区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为，的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算： ；请画图说明这个等式．13．（2016秋•西城区校级期中）观察图形，利用图形面积关系用写出一个代数恒等式．14．（2015春•房山区校级期中）观察两个图形中阴影部分面积的关系．2()a b +2()a b -ab 222()2a b a ab b +=++a b ()()x a x b ++=（1）可以用这两个图形中阴影部分的面积解释的乘法公式是 ． （2）请你利用这个乘法公式完成下面的计算．①；②100.399.7⨯2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++平方差公式的几何背景（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2019春•石景山区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是 A ．B ．C ．D ．【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用． 【解答】解：该长方形的面积， 故选：．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算． 2．（2019秋•海淀区校级月考）如图所示，已知边长为的正方形纸片，减掉边长为的小正方形后，将剩下的三块拼接成一个长方形，则这个长方形较长的边长为 A ．B ．C ．D ．【分析】由题意可求减掉后长方形的面积为：即可． 【解答】解：由题意可知减掉后长方形的面积为：， 长方形较长的边长为，故选：．【点评】本题考查平方差公式的应用；能够利用图形面积的关系，借助平方差公式求解是解题的关键． 3．（2019春•平谷区期末）根据如图可以验证的乘法公式为 a b +a b -()a b >()4ab 2ab 2b 2a 222222()()224a b a b a ab b a ab b ab =+--=++-+-=A a b ()a b +a b -2a b +22a b +22()()a b a b a b -=+-22()()a b a b a b -=+-∴a b +A ()A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可． 【解答】解：由题意可得：将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是：． 故选：．【点评】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．4．（2018秋•海淀区校级期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为 A ．B ．C ．D ．无法确定【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到． 【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积；第二个图形是梯形，则面积是．则． 故选：．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键． 二．填空题（共5小题）5．（2019秋•朝阳区期末）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式　　．22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+22()ab a b a b ab +=+()a b +222()2a b a ab b +=++B a b ()a b >a b ()222()2a b a ab b -=-+222()2a b a ab b +=++22()()a b a b a b -=+-22a b =-1(22)()()()2a b a b a b a b +-=+-g 22()()a b a b a b -=+-C 2(2)(2)4a a a +-=-【分析】①阴影部分的面积； ②阴影部分的面积；即可求解． 【解答】解：①阴影部分的面积； ②阴影部分的面积；， 故答案为；【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．6．（2019秋•丰台区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为 ．【分析】由面积相等只需求出剪完后剩余部分的面积即可． 【解答】解：， 故答案为．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，根据图形面积相等求解是关键．7．（2019春•延庆区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是，另一条边长是 ．(2)(2)a a =+-22224a a =-=-(2)(2)a a =+-22224a a =-=-2(2)(2)4a a a ∴+-=-2(2)(2)4a a a +-=-4a +a (0)a >816a +22(4)816a a a +-=+816a +(3)a +a 6a +【分析】用分解因式即可． 【解答】解：根据题意： ．故答案是：．【点评】本题运用了平方差公式分解因式，体现了数形结合的数学思想．8．（2019•平谷区一模）如图，从一个边长为的正方形的一角上剪去一个边长为的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含，的等式表示）．【分析】根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：，阴影部分的面积是：，即可得到乘法公式．【解答】解：图中阴影部分的面积是：， 阴影部分的面积为：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了平方差公式几何背景．利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式． 9．（2016春•门头沟区期末）在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是 ．22(3)3a +-22(3)3a +-(33)(33)a a =+++-(6)a a =+g 6a +a ()b a b >22()()a b a b a b -=+-a b 22a b -()()()()a a b b a b a b a b -+-=+-22a b -()()()()a a b b a b a b a b -+-=+-22()()a b a b a b ∴-=+-22()()a b a b a b -=+-22()()a b a b a b +-=-【分析】根据图形确定出平方差公式即可． 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 三．解答题（共5小题）10．（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算： ；请画图说明这个等式．【分析】（1）依据图形面积，图形面积，即可得到；（2）依据图形面积，图形面积，即可得出． 【解答】解：（1）由图1可得，图形面积， 由图2可得，图形面积，故答案为：； （2）， 证明：如图所示，图形面积， 图形面积，，22()()a b a b a b +-=-22()()a b a b a b +-=-a b 22()()a b a b a b +-=-()()x a x b ++=22a b =-()()a b a b =+-22()()a b a b a b +-=-()()x a x b =++2x ax bx ab =+++2()()x a x b x ax bx ab ++=+++22a b =-()()a b a b =+-22()()a b a b a b ∴+-=-22()()a b a b a b +-=-2()()x a x b x ax bx ab ++=+++()()x a x b =++2x ax bx ab =+++2()()x a x b x ax bx ab ∴++=+++故答案为：．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，把阴影部分的面积用不同的方法表示是解答此类题目的关键．11．（2017春•西城区校级期中）阅读学习：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是，宽是，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式．（1）观察图3，请你写出，，之间的一个恒等式 ．（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： ．（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．【分析】（1）利用完全平方公式找出、、之间的等量关系即可；（2）根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式；（3）由已知的恒等式，画出相应的图形即可．【解答】解：（1），，之间的一个恒等式．（2）图4所表示的代数恒等式：．（3）如图所示：2x ax bx ab +++22a b -a b +a b -22()()a b a b a b +-=-2()a b +2()a b -ab 22()()4a b a b ab -=+-222()2a b a ab b +=++2()a b +2()a b -ab 2()a b +2()a b -ab 22()()4a b a b ab -=+-22(2)()23a b a b a ab b ++=++故答案为：；．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．12．（2016春•顺义区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为，的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算： ；请画图说明这个等式．【分析】根据平方差公式得出各部分的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）由题意可得：；（2）可得：，画图如下：故答案为：；【点评】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示图形面积是解题的关键．13．（2016秋•西城区校级期中）观察图形，利用图形面积关系用写出一个代数恒等式．22()()4a b a b ab -=+-22(2)()23a b a b a ab b ++=++a b 22()()a b a b a b +-=-()()x a x b ++=22()()a b a b a b +-=-2()()x a x b x ax bx ab ++=+++22()()a b a b a b +-=-2x ax bx ab +++【分析】分别利用不同的方法表示出阴影部分的面积，得到恒等式．【解答】解：阴影部分的面积可表示为：或，．【点评】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握平方差公式、矩形的面积公式是解题的关键．14．（2015春•房山区校级期中）观察两个图形中阴影部分面积的关系．（1）可以用这两个图形中阴影部分的面积解释的乘法公式是 ．（2）请你利用这个乘法公式完成下面的计算．①；②【分析】（1）本题通过（1）中的面积；（2）根据得出平方差公式计算即可．【解答】解：（1）；（2）①；②．22a b -()()a b a b +-22()()a b a b a b ∴-=+-22()()a b a b a b +-=-100.399.7⨯2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++22a b =-22()()a b a b a b +-=-100.399.7(1000.3)(1000.3)9999.91⨯=+⨯-=2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++22481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)=-+++++4481632(21)(21)(21)(21)(21)=-++++881632(21)(21)(21)(21)=+-++161632(21)(21)(21)=-++3232(21)(21)=-+6421=-故答案为：【点评】本题主要考查了利用面积公式证明平方差公式，熟记公式结构是利用平方差公式解决实际问题．22()()a b a b a b +-=-。