第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越大，Q越 小，说明y与x的线性关系愈密切。
计算统计量F
U / U F Q / Q
U /1 Q /( N 2)
对一元线性回归，应为
F
查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的 自由度1和N-2进行检验：
重点与难点

回归分析的基本概念和主要内容

一元线性回归方程的求法
回归方程的方差分析和显著性检验 一元非线性回归方法


第一节
回归分析的基本概念
一、函数与相关
函数关系：可以用明确的函数关系式精确地 表示出来。 相关关系：这些变量之间既存在着密切的关 系，又不能由一个（或几个）自 变量的数值精确地求出另一个因 变量的数值，而是要通过试验和 调查研究，才能确定它们之间的 关系。
第二节
一元线性回归
ˆ V Y Xb
则误差方程的矩阵形式为
ˆ ，设测得值 yt 的精度相等，则有 对照 V L AX
将测得值分别代入上式，可计算得
N N
ˆ ( X T X ) 1 X T Y b
N xt yt ( xt )( yt )
t 1 t 1 t 1 N
t 1
N
S N 1
可以证明：
第二节
其中
N t 1
一元线性回归
S=U+Q
U ( yt y ) 2 bl xy
ˆ t ) 2 l yy bl xy Q ( yt y
t 1 N
U 1
Q N 2
U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。 Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
b
N xt ( xt ) 2
2 t 1 t 1
2 t N N N
N
N

l xy l xx
b0
( x )( yt ) ( xt )( xt yt )
t 1
N
N xt2 ( xt ) 2
t 1 t 1
t 1 N
t 1 N
t 1
y bx
第二节
式中， 1 , 2 ,, N 分别表示其它随机因素对电阻值 y1 , y2 ,, y N 影响的总和。 思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出 7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个， 而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小 二乘法求解。
0 和 的估计值。根据测量数据，可以得到
76.30
77.80
79.75
80.80
82.35
83.90
85.10
散点图：
84 82 80 78 76 20 25 30 35 40 45 50
第二节
一元线性回归
从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。 设测量数据有如下结构形式：
yt 0 xt t ,
t 1,2,, N
其中
一元线性回归
x
t 1 N t 1 N
1 x N 1 y N
t
y
t N
N 1 l xx ( xt x) 2 xt ( xt ) 2 N t 1 t 1 t 1 2 N 1 N l xy ( xt x)( yt y ) xt yt ( xt )( yt ) N t 1 t 1 t 1 t 1 N N
第二节
一元线性回归
ˆ b0 bx y
ˆ yt b0 bxt , t 1,2,, N vi yt y
设得到的回归方程 残差方程为
根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。
对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令
y1 y2 Y y N 1 1 X 1 x1 x2 xN v1 b0 v2 ˆ b V b v N
F F0.10 (1, N 2), 回归不显著。
第二节
一元线性回归
（三）残余方差与残余标准差 残余方差：排除了x 对y的线性影响后，衡量y 随机波动的特征量。
Q N 2
2
残余标准差：

Q N 2
含义： 越小，回归直线的精度越高。
第二节
来源 回归 残余 总计
一元线性回归
平方和
N
1 N l yy ( yt y ) yt ( yt ) 2 N t 1 t 1 t 1
2 2
N
N
第二节
一元线性回归
二、回归方程的方差分析及显著性检验
问题：这条回归直线是否符合y 与x之间的客 观规律？回归直线的预报精度如何？ 方差分析法

对N个观测值与其算术平均值之差的平方 和进行分解；
U bl xy
Q l yy bl xy S l yy
（四）方差分析表
自由度 1 2 N-1 方差 －
F
F
U /1 Q /( N 2)
第二节
若
一元线性回归
F F0.01 (1, N 2),
回归在0.01的水平上高度显著。
F0.05 (1, N 2) F F0.01 (1, N 2), 回归在0.05的水平上显著。
F0.10 (1, N 2) F F0.05 (1, N 2),回归在0.1的水平上显著。
第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方 程或经验公式； 2、对回归方程的可信度进行统计检验；
3、因素分析。
第二节
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系。
一、回归方程的确定
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
x /o C y/
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 46.5 50.0


从量值上区别对Ｎ个观测值的影响因素； 用F检验法对所求回归方程进行显著性检 验。
第二节
一元线性回归
（一）回归方程的方差分析
1、引起变差的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素（包括试验误差）的影响。 2、方差分析 总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）
S ( yt y ) 2 l yy