（一）勾股定理2 2 21：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2，a c2 b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：b方法14S S S4 ab (b a)4S S正方形EFGH S正方形ABCD，222c，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．a四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 41ab c2222ab c2 2 22 2 2大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以a2 b2 c2S梯形2(a b) (a b)，S梯形2S ADE S ABE12 ab12 c较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”4：勾股数B C①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称 a，b， c为一组勾股数3,4,5；6,8,10；5,12,13； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41 等222n 1,2n 2n,2n 2n 1（n为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的 题目。

3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误 （4）推理格式：∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. （或 a 2+b 2=c 2）二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a 、b 、c ，且满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形” 来 确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ；（2）验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形（若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2，则△ ABC 为锐角三角形）。

222（定理中 a ，b ，c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，222c 满足 a 2 c 2 b 2，那么以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；222a 2b 2c 2中，a ，b ，c 为正整数③用含字母的代数式表示 n组勾股数： 22n 1,2n,n 1（ n 2, n 为正整数）；②记住常见勾股数可以提高解题速度，如2 2 2m n ,2 mn,m2n（m n, m， n为正整数）联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

六、随堂练习1．在 Rt ABC 中， C 90 ， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 和c⑴若 a 2，b 4，则 c =；斜边上的高为 . ⑵若b 3，c 4 ，则a =.斜边上的高为 .a3⑶若 b ，且c 2 10 ，则a =，b ________________________________ .斜边上的高为 .b1⑷若 c 2，且a 3 3，则c =，b ________________________________.斜边上的高为 .2．正方形的边长为 3，则此正方形的对角线的长为 3．正方形的对角线的长为 4，则此正方形的边长为 .4．有一个边长为dm 50 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长5．一旗杆离地面 6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，求旗杆折断之前有多高？ 6. 如图，一个 3m长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO上，这时为2.5m ，如果梯子顶端 A 沿墙下滑 0.5m ，那么梯子底端 B 也外移 勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理1．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。

2、已知：如图，∠ B=∠D=90°，∠ A=60°， AB=4， CD=2。

求：四边形 ABCD 的面A积。

AO的距离0.5m 吗？B C3：在 ABC 中， AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为多少？ 4：已知如图，在△ ABC 中，∠ C=60°， 高，求 BC 的长。

5、如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90°， BC=a ，CD=h 。

2、如图是 2002年 8 月在北京召开的第 24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和 EF 都是正方形 . 证：△ ABF ≌△DAECD ⊥AB 于 D ，设 AB=c ， AC=b ，12求证：（ 1） a1b 21h 2 （2）a bch3）以 a b ， h ，ch为三边的三角形是直角三角形练习6. 如图，△ ABC 中， AB=AC ，∠A=45o ，AC 的垂直平分线分别交 AB 、AC 于 D 、E ，若 CD=1，则 BD 等 于（）A ．1??B ． ?C ． ??D ．7. 已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积．8.如图 Rt ABC ， C 90 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积6.如图，△ ABC 中， AB=AC=2，0 BC=32，D 是BC 上一点，且 AD ⊥AC ，求 BD 的长．7. 如图，△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC ，P 是△ ABC 内一点，满足 PA=3， 的度数．8. 已知△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=3,BC=4,（1）AD 平分∠ BAC,交 BC 于 D 点。

求 CD 长2）BE 平分∠ ABC,交AC 于E ，求 CE 长如图，直线l 上有三个正方形 a ，b ，c ，若a ， 积分别为 5和 11，则 b 的面积为（ ）Ａ）4Ｂ）6Ｃ） 16Ｄ） 55A 的AB=4 3题二勾股定理的证明的A3、图①是一个边长为（m n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（）2 2 2 2 2A．（m n）（m n） 4mn B．（m n）（m n ） 2mn2 2 2 2 2C．（m n） 2mn m n D．（m n）（m n） m n 图图第 3 题图专题三网格中的勾股定理1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．33、（2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 小正方形ABC 是的顶点，则∠ ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．304、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ ABC，则边AC上的高为（）3 2 3 5 3 54 5A. 2B. 10C. 5D. 55、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角形吗?说明理由．6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2 的三个形状不三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）三角同的C'专题四实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5米， 把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风 力为 12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级， 该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿 北偏东 30o 方向往 C 移动，且台风中心风力不变， 若城市所受风力达到或走过四级， 则称为受台风 影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由 .（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 专题五梯子问题1、如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，（ 1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方 向滑动了几米？3、如图，梯子 AB 斜靠在墙面上， AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与y 的大小 关系是（） A. x y B. x y C. x y D.不能确定专题六最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草．2、如图，一圆柱体的底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝， BC 是上底面的直径。