三次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，如)0()(2≠++=a c bx ax x f 的）对称轴方程式是a b x 2-=。

三次函数cx ax x f +=3)(是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d
bx ax x f ++=3)(的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(a b f a b --。

下面给出证明。

证明1：二次函数通过配方可以消去一次项。

类似得，三次函数通过配方可以消去二次项。

=
++=cx bx ax x f 23)(d cx a
b a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d a
b a x
c a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b a
d a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+
= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(a
b f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --
对称。

证明2：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为（m ，n ）。

按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以 02)()(=-+-++n m x f m x f
化简得：
上式对恒成立，故
，得 ，。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数)(x f y '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

（Ⅰ）已知函数3(x)=x -x f ，其图象记为曲线C 。

（i ）求函数(x)f 的单调区间；
（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111P (x ,f(x ))处的切线交于另一点 222P (x ,f(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,f(x ))处的切线交于另一点333P (x ,f(x ))，线段 11223122P P ,P P ,S ,S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则
为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正
确命题，并予以证明。

（2010福建理）
记函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的图象为曲线C '，类似（Ⅰ）（ⅱ）的正确命题为：若对对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为，则为定值
证明如下，因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中平移至坐标原点因而不妨设，类似的计算可得，411427x S =，041627412≠⨯=x S ，故161S S 21=。