应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
[教学目标]
知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3）
了解过一点作三次函数图像切线条数的结论.
过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证
明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类.
情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力；
（2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美.
[教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法.
[教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法.
[教学方法]探究式教学.
[教学手段]多媒体辅助教学.
[教学过程]
1 三次函数图像的对称性
1.1 创设情景，提出问题
三次函数3()f x x =是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？
观察函数32()321g x x x x =-++的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？
1.2 回归通法，探究发现
研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出(),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
1.3 追根索源，理解本质
为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a
--.i 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究
2.1 因势利导，引出问题
三次函数过对称中心(,())33b b f a a -
-的切线是如何的？通过实例来探究.32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？
2.2 恰当分类，实例探索
因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图
像上的点（除对称中心）是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数32
()321g x x x x =-++为例来探究.先选右边的点(3,0)，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与x 轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答.
2.3 归纳总结，得到结论
设三次函数图像C 在其对称中心处的切线为l ，M 是三次函数图像所在平面上的一点，则
（1）过点M 能且仅能作C 的一条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上下两个区域内（边界除外），或点M 与点N 重合.
（2）过点M 能且仅能作C 的两条切线，当且仅当点M 位于C 或l 上（点N 除外）.
（3）过点M 能且仅能作C 的三条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左右两个区域内（边界除外）.ii
根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下：
3 小结
知识点1 对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
知识点2 切线条数，用图表示.
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化.
4 思考
（1）对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗？
（2）过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对一般函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的证明吗？
5 作业
设32()f x ax bx cx =++的极小值为2-，其导函数()y f x '=的图像是经过点(1,0),(1,0)-开口向上的抛物线.
（1）求()f x 的解析式;
（2）若过点(1,)m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
i管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯.2004（15）.
ii贺斌.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论. 数学通讯.2008（3）.。