ln(
s(t2 ) s(t1)
)
(
2
2
)(t2
t1
)
t2 t1 Z
Z ~ N (0,1)
• 股票价格的几何布朗运动模型（GBM）
13
例
• 考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期收 益率为每年16％，波动率为每年20％。则经 过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概率分 布：
ln S(t) ~ N (ln 40 (0.16 0.04) 0.5,0.2 0.5) 2
e-rt (EQ (I AS (t)) XEQ I A ) 19
• 命题2：
EQ I A (d2 )
EQ I A P (S (t) X ) P(Z d2 ) 1 P(Z d2 ) 1 (d2 ) 1 (1 (d2 )) (d2 )
N (3.759,0.141)
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
欧式期权定价——轶事
• 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面 70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定 价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定 价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年— —金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公 司负债”的著名论文
3
1. 风险中性定价• 风险中Fra bibliotek市场，欧式看涨期权
C max(S(T ) X , 0) V (T, w)
C EQV (T , w)erT erT EQ max(S (T ) X , 0)
4
2.标的资产价格的变化规律
• 确定性模型： ln( s(t) ) rt s(0)
•
随机模型：
ln(
6
7
8
9
马尔科夫过程(Markov process)
• 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与 过去无关
• 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价 在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过 去的路径
– 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中， 简单的技术分析不能战胜市场
– 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱 有效性
s(t) )
(r
σ2 )t
σ
tZ
s(0)
2
Z ~ N (0,1)
(rσ2 )tσ tZ
S(t) S0e 2
5
对数正态分布
• 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数 为正态分布的任意随机变量的概率分布。如 果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对 数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作 是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可 以看作是对数正态分布。一个典型的例子是 股票投资的长期连续收益率，它可以看作是 每天连续收益率的乘积。 对于 x > 0，对数 正态分布的概率分布函数为
• 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式—— Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计 公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复 制方法成为期权定价研究的经典方法
• M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997 年的诺贝尔经济学奖
• Wiener过程(长时间段内)的增量 N z T z 0 i t i 1 N T t
– 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于 T
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股票价格的随机过程GBM
• 令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型
dS(t) S(t)dt S(t)dZ(t)
• Samuelson P.A 1965; Bachelier1990 • 股票价格的对数过程为Brown运动
2
2
)(t2
t1
)
t2 t1 Z
Z ~ N (0,1)
• 该假设与风险中性原理的吻合
16
3. B-S公式的推导
• 1．引入示性函数：
1, w A {w | S(t, w) X } I A (w) 0, w A max(S(t, w) x, 0) (S(t, w) x) I A(w)(S(t, w) x)
17
• 命题1：设
d2
1
t
(ln
S0 X
(r
2
2
)t)
I
A
(
w)
1, Z (w) 0, 其它
d2
18
• 事实上，S(t)>X
(r 2 )t t
S0e 2
x
(r 2 )t t Z ln X
2
S0
Z
1
(ln
X
2
(r )t)
t S0
2
注意,IA (w)中的w是使期权执行的事件.
C=e-rtEQ[I A (S (t) X )]
10
Wiener过程(布朗运动)—定义
Wiener过程，Brown 运动： 独立增量，在任意两个微小时间段内的
改变量是独立的 每个区间上的增量满足正态分布 Wiener过程是Markov过程
• 瞬时增量为 z t
– 增量的均值等于 0
– 增量的标准差等于 t
11
Wiener过程(布朗运动)—— 基本性质
15
无套利市场中的 股票价格过程
• 在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立
ES(t) S0ert 又根据S (t )满足对数正态分布，得到
ES(t) S0et 可见，在无套利市场中，＝r
• 所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的 Brown运动
ln(
s(t2 ) s(t1 )
)
(r
1
欧式期权定价——轶事
• 巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥 期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S 公式的正式发表（5-6月号）
• 两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒 绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：
– 金融太多，经济学太少
• 他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权