三角函数求值
一、三维目标：
（1）知识目标：能运用三角函数有关公式进行简单的恒等变换。
（2）能力目标：对于遇到角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性。
（3）情感态度和价值观：角的变换体现出将未知化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。
二、教学重点：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．
三、教学难点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．角度范围的控制。
四、教学过程： 1.讲授新课
问题一（给角求值） 50sin80(13tan10)
++ ．
解：原式
2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5+
+=2sin 80
2sin 50cos(6010
)
cos10cos5
+-=
250cos50)
22cos5+=
2cos(5045)2cos5-== [点评] 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。
实现函数
名与角度的统一。
问题二（给值求值） 已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值
解：法一：由已知
21
tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ
sin2θ-2cos 2
θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5
4tan 12tan 22
-=+-θθ 法二：
sin2θ
-2cos 2θ=sin2θ-cos2θ
-1=-cos(θπ
22
+)-sin(θπ
22
+)-1
=5
41)
4(tan 1)
4tan(2)4(tan 1)
4(
tan 1222-=-+++-+++--θπθπ
θπθπ
[点评]法一：弦化切；法二：角度的配凑 问题三（给角求值）（1）已知A 、B
均为钝角且5SinA =
，10
SinB =。
求A B +。
解：cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，2A B ππ<+<，
74
A B π∴+=
[点评]选取恰当的函数名。
（2）已知11tan()tan (0)2
7
αββαβπ-==-∈，，且，，，
求2αβ-的值。
解：tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββ
αβαββαββ
-+-=-+=
--⋅，
又22tan()4tan 2()1tan ()3
αβαβαβ--===--，4137tan(2)141137
αβ-
-=
=+⋅， 而tan()tan 1
tan tan[()]1tan()tan 3
αββααββαββ-+=-+===--⋅，(0)αβπ∈，，，所以
04π
α<<
，所以13tan 202724
ππ
ββππαβαβ=
-<<-<-<-=-，所以，，所以。
[点评]注意角度范围控制。
2.课堂练习
（1）11cos(2),sin(2)14αβαβ-=-
-=已知
04
2
π
π
βα<<
<<
．:αβ+求的值。
解：11cos(2)2144
π
αβαβπ-=-
<-<且
，sin(2)αβ∴-=
sin(2)242ππαβαβ-=-<-<，1
cos(2)7
αβ∴-=
cos()cos[(2)(2)]
αβαβαβ∴+=---
cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--
11111472
=-
⨯+= 3
π
αβ∴+=
（2）已知sin(-4
π
x)=
135，0<x<4
π
，求)
4
cos(2cos x x
+π
的值。
【解法1】∵2)4()4(πππ=++-x x ，∴cos(4π+x)=sin(4π
-x)
又cos2x=sin(2π-2x)=sin2(4π-x)=2sin(4π-x)cos(4
π
-x)
∴)4
cos(2cos x x +π=2 cos(4π-x)=213
24)1312(=⨯
【解法2】)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22x x x x x x x -+=-=
)4
cos()4
sin(2π
π
+
+
x x
∴
)
4
cos(2cos x x +π
)
4
cos()
4cos()4sin(2x x x +++=
ππ
π=)4sin(2x +π [点评]：分析:角之间的关系：2
)4
()4
(π
ππ=
++-x x 及
)4
(
222
x x -=-π
π
，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
（3）已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2
π,2π)，则tan 2
βα+的值是( )
A.2
1
B.－2
C.3
4
D.
2
1或－
2
解：tan tan 40tan tan 310
a a αβαβ+=-<⎧⎨=+>⎩，4tan()3αβ∴+=，
02
02
π
απβ⎧-<<⎪⎪⎨
⎪-<<⎪⎩，得022παβ+-<< 得tan 22αβ+=-或12
（舍去）。
故选B 。
（4）设平面内两个向量(cos sin )(cos sin )a ααb ββαβπ=，
，=，，0<<<， (1)证明：()()a b a b +⊥-；
(2)若有||||ka b a kb +=-，求(0)βαk k R -≠∈，的值。
(1)证明：(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )a b αβαβa b αβαβ+=++-=--，，，，
所以()()110a b a b +⋅-==-=，所以()()a b a b +⊥-； (2)解：22222||()2ka b ka b k a ka b b +=+=+⋅+，
22222||()2a kb a kb a ka b k b -=-=-⋅+，又因为||||ka b a kb +=-，
所以22222222k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+，即
2222(1)4(1)0k a ka b k b -+⋅+-=，又因为||||1cos()a b a b αβ==⋅=-，，所以4cos()0k αβ-=，
0k k R ≠∈，， 所以cos()0αβ-=，又αβπ0<<<，则2
π
αβ-=-
，即2
πβα-=。
3.总结
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形
三角函数式的求值的类型一般可分为:
(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角
得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
4.作业。