第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。
FP1
C FP2
f
A
B
l
FP1
FP2
1 竖向荷载作用下拱反力计算 mB 0
y
A FAx
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
矢高：起拱线至拱顶的 竖直距离。
拱趾
拱顶
矢高f 起拱线
跨度L
拱轴 拱趾
第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
带拉杆的拱：在 屋架中，为消除 水平推力对墙或 柱的影响，在两 支座间增加一拉 杆，由拉杆来承 担水平推力，桥 梁中应用也非常 广泛。
第一节 三铰拱的组成和类型
yk
A
B
k
C
Fy' 0
F0 Ay
F0 Sk
F0 Ay
P1
F0 By
FS k FAy cosk P1 cosk FH sin k
M 0 F0 x Px a
k
Ay k
1k
1
FA0y P1 cosk
FS
0 k
c os k
FH
FH sin k
sin k
FN k
Fx' 0
FAy sink P1 sink FH cosk
在工程实践中，由于载荷的多样性，不可能有真正的无弯矩 拱，但是可以想象，接近合理拱轴的设计，应当是可行的方 案。赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。
第一节 三铰拱的组成和类型
1、工程上使用的拱结构实例
三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料 比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算 3 拱的内力图
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲 线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制， 总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
例题：三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方
程
y
4f l2
Байду номын сангаас
FAx
FAyl1 P1(l1 a1) f
M
0 C
f
FBx
FH
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
• 拱的竖向反力与其相应简支梁的竖向反力
FAy=FAy0
相等； • 当荷载及跨度给定时，水平反力只与三个
FBy=FBy0
铰的位置有关而与拱轴线形状无关;而内 力则与拱轴形状有关。
FAy A
F0 Ay
a1 P1
a2 C
f
l1 l
P1 C
X 0
b1 P2
x l2
P2
b2 F l Pb Pb 0
Ay
11
22
FAy
Pb 11
l
Pb 22
B FBx
FBy
Pibi F 0
l
Ay
mA 0
FBy
Pa ii
l
F0 By
B
mc 0
F0 By
FAx f P1(l1 a1) FAyl1 0
10
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
曲拱计算步骤：
• 利用平衡方程求出拱的约束反力； • 绘制代梁的弯矩图和剪力图；
• 利用拱的曲线方程计算拟求截面的位置（x,y,）；
• 代入拱内力计算公式计算该截面内力。
几点说明：
• 所求截面转角，实质是求相关函数（sin 和 cos 值），可
利用三角边的关系求出； • 顶铰左右部分截面转角分正负； • 集中力作用点剪力图和轴力图有突变，应给予注意。
FAx=FBx =FH • 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反
比，且总是正的，故称内推力。扁拱的水
FH= MC0 / f 平推力大于陡拱。
• 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
2 竖向荷载作用下拱内力计算
截面的外法线（即该处切线）与水平方向的倾角φk规定左 半拱为正，右半拱为负。拱截面弯矩通常以内侧受拉为正，
x计l 算x 反力并绘制内力图
q=2kN·m C
FP=8kN
A FAy
f=4m
B
FAx
l=16m
FBx FBy
[解] 1、支座反力计算
FAy 14 kN
FBy 10 kN FAx FBx FH 12kN
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
[解] 2、求截面 3 内力
4f y l 2 x(l x)
F0 Ay
P1
sink
FH
cosk
FS
0 k
sink
FH
cosk
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
• 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关；
• 由于推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要 小;
• 三铰拱在竖向荷载作用下内力受压为主; • 公式是以左半跨推导的，对右半跨取角度为负即可；
轴力以受压为正。
二、内力的计算
P FSkMk FNk
y
a2
b2
a1
b1
P1 kk C
P2
f
yk
FH
FH A
xk
x
B
FAy
l1
l2
FH
FAy
l
FBy
M k 0则M k FAy xk P1 xk a1 FH yk
FA0y xk P1 xk a1 FH yk
P1
P2
M
0 k
FH
2. 三铰拱的构成
铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高 度，可将桥面吊在拱上。
第一节 三铰拱的组成和类型
3. 三铰拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱 无铰拱
拉杆拱2
斜拱
第一节 三铰拱的组成和类型
4. 三铰拱的受力特点
FP
曲梁
FP
拱
拱的基本特点是在 竖向荷载作用下会 产生水平推力，从 而大大减小拱内弯 矩。水平推力的存 在与否是区别拱与 梁的主要标志。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱的内力特点
绘弯矩图
36
40 48 40
M
0 K
FH y
MK
M
0 K
FH y
综合弯矩图是两种弯矩图叠加的结果（注意是竖标的叠加， 或称代数叠加），即两个曲线所夹部分，可见弯矩很小。三 铰拱弯矩下降的原因完全是由于推力造成的。
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
• 内力图均不再为直线； • 集中力作用处，剪力图将发生突变；在计算剪力和
轴力时，必须区分左截面和右截面。 • 集中力偶作用处，弯矩图将发生突变； • 上述公式仅适合于平拱，且承受竖向荷载情况； • 拱的内力仍然有FQ=dM/ds
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
dy 4 f (1 2x )
dx l
l
y3 3
tan 3
1 2
q=2kN·m C
3 A
f=4m
l=16m
4m
q=2kN·m
FP=8kN B
FP2=8kN
M3
M
0 3
FH
y
4
kN m
FS 3
F0 S3
cos
FH
sin
0
kN
14
6
FN3 FS03 sin FH cos 13.416 KN
2
FS(kN)