含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
一． 含有参数的一元一次方程
1. 整数解问题
2. 两个一元一次方程同解问题
3. 已知方程解的情况求参数
4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）
二： 解含有绝对值的一元一次方程
一. 含有参数的一元一次方程
1. 整数解问题（常数分离法）
例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -=
119x k
=- ∵,x k 均为整数
∴91,11k -=±±
∴2,8,10,20k =-
⑵ 【中】 关于x 的方程()2
(1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ;
(2)若此方程的根为整数,求整数=____m
答案：(1)1,1≠=;
(2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =
- ∵此方程的根为整数. ∴31
m -为整数
又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=--
∴2,0,2,4m =-
测一测1： 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )
A.2
B.3
C.1或2
D.2或3
答案：D
方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得4
2--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a
测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -=
即:179x k
=-,x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61
x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =
2. 两个一元一次方程同解问题
例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________
【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =
⑵ 【中】若关于x 的方程：k(x+3)(2)10354
k x x --=-与方程1252(1)3
x x --+=
的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354
k x x --=-解得x=2， 代入方程1252(1)3
x x --+=中解得k=4 测一测1:【易】方程213x +=与202a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A 、7 B 、0 C 、3 D 、5
【答案】D
第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得：12=02a --
，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和
32x k k x -=-解互为相反数，则k 的值为（）
A. 143-
B. 143
C. 113
k =- D. 113k = 【答案】 A
首先解方程231x -=得：2x =；
把2x =-代入方程
32x k k x -=-，得到：232k k x --=-； 得到：143
k =- 测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍
【答案】由4231x m x -=-可知21x m =-，由23x x m =-可知3x m =
∵ 关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的2倍
∴2123m m -=⨯
解得14
m =- 3. 已知方程解的情况求参数
例题4：⑴ 【易】已知方程
()2412
x a x +=-的解为3x =，则____a = 【答案】根据方程的意义，把3x =代入原方程，得()234312a ⨯+=-，解这个关于a 的方程，得10a =
测一测1：【易】 若3x =是方程
123
x b -=的一个解，则b=________。

【答案】1
3x =代入到方程中，得1|
2|3
x b -=，解得1b = 测一测2：【易】 已知4x =-是方程3602
kx -=的解，则1999k =_________。

【答案】 4x =-代入到方程中，得()34602k ⨯--=，解得1k =- ⑵【易】 某同学在解方程513x x -=•+，把•处的数字看错了，解得43x =-，该同学把•看成了_________。

【答案】 将43
x =-代入方程中解得=8• 测一测1: 【易】 某书中有一道解方程的题：
113x x +•+=，•处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解就是2x =-，那么•处应该是________
【答案】=5•
将2x =-代入方程中解得=5•
4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）
知识点： 讨论关于x 的方程ax b =的解的情况.
答案：当0a ≠时，方程有唯一的解b x a =
； 当0,0a b =≠时，方程无解
当0,0.a b == 方程的解为任意数.
例题5：⑴ 【中】 已知方程(2)4(2)a a x a -=-
当此方程有唯一的解时，a 的取值范围是__________
当此方程无解时，a 的取值范围是__________
当此方程有无数多解时，a 的取值范围是_______
答案：02a a ≠≠且； 0a =； 2a =
知识点：讨论关于x 的方程ax b =的解的情况.
当0a ≠时，方程有唯一的解b x a
=；
当0,0a b =≠时，方程无解
当0,0.a b == 方程的解为任意数.
⑵ 【中】 关于x 的方程43mx x n +=-. 分别求,m n 为何值时，原方程： ⑴ 有唯一解 ⑵ 有无数多解 ⑶无解
答案：原方程可以转化为()34m x n -=+
⑴ 当3,m n ≠为任意值时，方程有唯一解；
⑵ 当3,4m n ==时，方程有无数解；
⑶ 当3,4m n =≠-时，无解
测一测1：【中】 若关于x 的方程 ()2125a x b x +=+ 有无穷多个解。

求________a b ==
答案： ()2125a x ab -=-. 要使x 有无穷多个解，则2120a -= 50ab -= 得到56;6
a b == 测一测2： 【中】 已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+ 有无数多个解，那么___,____a b ==
答案： 2253ax a x ax b -=-+ ，即()3523a x a b -=+
所以350230a a b -=+=且，即510,39
a b ==-即 测一测3： 【中】 已知关于x 的方程 ()2132a x x -=- 无解，试求a =_______ 答案： 方程可化简为()232a x a -=- 由题意得 230,20a a -=-≠ 即32a = 例题6：【中】解关于x 的方程： ()10x x ab a b
-=≠ 答案： (),bx ax ab b a x ab -=-=
当a b =时， 0ab ≠ 所以此方程无解
当a b ≠时，ab x b a
=-
二： 含有绝对值的一元一次方程
例题7: 【中】 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程： 32x +=
解：当x+3≥0时，原方程可化为： x+3=2， 解得x=-1
当x+3＜0时，原方程可化为： x+3=-2，解得x=-5
所以原方程的解是x=-1，x=-5
（1）解方程： 3240x --=
答案： 原方程可化简为: |32|4x -=
当32x -≥0时，原方程可化为：324x -=，解得2x =
当32x -＜0时，原方程可化为：324x -=-，解得23x =-
所以原方程的解是：22,3
x x ==- （2）探究：当b 为何值时，方程21x b -=+ ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解. 答案：① 无解 1b -＜
② 只有一个解1b =-
③ 有两个解 1b >- 考点：20x -≥
10b +< 无解
+10b = 唯一解
+10b > 有两个解
测一测1：【易】方程 |23|5x +=的解是_______
答案： 235x += 或235x +=-
1x =或-4
测一测2：【易】 方程
|21|302x --= 的解为________ 答案： |21|32
x -=
|21|6x -= 216216x x -=-=-或
7522
x x ==-或 家庭作业：
1. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求2
21195k k --的值 2. 若1x =是关于x 的方程(0)ax b c a +=≠的解，求：
（1）2001)(c b a -+的值； （2）
b
a c +的值； （3）1c a
b ---的值. 3. （1）解关于x 的方程4(1)(5)2a x a x b -=-+有无数多个解，试求b a , （2）当k 取什么整数时，方程24kx kx +=的解是正整数？
4. 已知：05)2(2312=+-++a y y b a 是关于y 的一元一次方程，求,a b 的值．
5. 解方程：
（1）|32|40x --=
（2）x n m x n m m )()(2-=+-。