星架）上输入和输出的功率的代数和应等于零。得出
单级行星齿轮机构一般运动规律的特性方程式［２］：
n１ ＋ κn２ － （１ ＋ κ）nH ＝ ０
（２）
其中：n１、n２、nH、κ１ 分别为太阳比。
由于双级行星齿轮机构多一对行星轮外啮合，
因此公式（１）的负号变正号，传动比的计算公式
《装备制造技术》２０１２ 年第 １１ 期
杠杆法在复合轮系教学上的应用
李明圣
（湛江师范学院物理科学与技术学院，广东 湛江 ５２４０４８）
摘 要：在复合轮系教学中，用杠杆法建立行星齿轮机构的转速图，对目前较为广泛采用的辛普森（Ｓｉｍｐｓｏｎ）式和拉威娜 （Ｒａｖｉｇｎｅａｕｘ）式行星齿轮机构在各档位下传动比进行分析，取得良好的教学效果 。 关键词：自动变速器；杠杆法；行星齿轮
要，既可以将杠杆重叠，又可以将杠杆分开：重叠时，
将相互连接的部分合并为一个点；将杠杆分开时，连
接点用一水平线来表示。两种情况都要对杠杆的力
臂进行调整，调整时要保证连接部分合并点之间的
力臂长度相等，并且各杠杆力臂长度比不变，这样将
多个行星排的杠杆图合并为一个总杠杆图，并在图
上标上离合器 C、制动器 B、单向离合器 F 以及输入
数目、各基本构件、行星轮的相对转速及力学和动力
学问题时，非常困难。如果采用杠杆法进行分析，上述
问题就变得容易，学生理解起来很轻松。
２ 杠杆法的工作原理
２．１ 单行星排齿轮传动时杠杆图 由于一个行星排由太阳轮、行星轮、齿圈及行星
架构成。根据其结构特点将一个行星排等效为一个
收稿日期：２０１２－０８－１０ 作者简介：李明圣（１９６６—），男，讲师，工学硕士，主要从事机械原理教学与研究。
R R
PC
PC
R PC
PC
１ R
κ
S
κ
S
S
S
（ａ）单行
（ｂ）双行
Rｙ １
PC
κ
PC ｙ
１ R
κ
S S ０ １ｘ
０１ｘ
（ａ）单行 （ｂ）双行
图 １ 星排杠杆图
图 ２ 星排转速图
２．２ 多行星排行星齿轮传动时杠杆图
当多行星排并联时，每个行星排视为一个垂直
的杠杆和三个支点，行星排之间的构件相互连接，在
杠杆图上视为各支点之间的连接。在处理时，根据需
１ 行星齿轮机构传动的一般规律
单级行星齿轮系的传动比计算可通过转换将周
转轮系转换成定轴轮系，然后按求解定轴轮系传动
比的方法来计算，如公式（１）。并可得出单级行星齿
轮系的传动比通用计算公式
H
i１２
＝
（n１ － nH ） （n２ － nH ）
＝
－
Z２ Z１
＝ －κ
（１）
根据能量守恒定律，三个元件（太阳轮、齿圈、行
H
i１２
＝
（n１ － nH ） （n２ － nH ）
＝
Z２ Z１
＝κ
（３）
双级行星齿轮机构一般运动规律的特性方程式：
n１ ＋ （κ - １）n２ － κnH ＝ ０
（４）
有级变速的自动变速器采用的行星齿轮传动是
一种常啮合传动，其传动比变换可通过分离与接合离
合器或制动器而方便的实现，而且通过增减行星排内
构件 i，输出构件 o，即得多行星排并联机构的转速
杠杆图［３］。如图 ３ 所示为辛普森式行星齿轮机构转速
图，其中，（ａ）图为行星齿轮机构的示意图；（ｂ）图为
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Equipment Manufacturing Technology No.11，2012
垂直杠杆和三个支点，三个支点分别代表太阳轮 S、 行星架 PC 和齿圈 R。对于单行星行星排，由公式（３） 和能量守恒定理可得出中间支点为行星架 PC ，两端 支点分别为 S 和 R ；对于双行星行星排，由公式（５） 和能量守恒定理可得出中间支点为齿圈 R，两端支 点分别为 PC 和 S。支点 S 和 R 距支点 PC 的长度分 别与太阳轮齿数和齿圈齿数成反比，如图 １（ａ）、（ｂ） 所示为单行星行星排和双行星行星排的杠杆图，图 中为齿圈与太阳轮的齿数比。可以用杠杆图进行行 星齿轮的转速分析，建立 ｘｏｙ 坐标系，三个支点按比 例画在 ｙ 轴，ｘ 轴表示支点的转速大小和方向，在这 里假设输入支点的转速为 １，方向朝 ｘ 轴方向为正， 相反为负，被固定支点的转速为 ０。如图 ２（ａ）、（ｂ）所 示，图（ａ）为单行星行星排转速分析图，齿圈 R 输入、 太阳轮 S 被固定，行星架 PC 输出，利用相似三角形 定理，行星架的转速 nPC ＝ κnR（／ κ＋１），属于减速同向， 与公式（３）计算结果一样；图（ｂ）为双行星行星排转速 分析图，行星架 PC 输入、太阳轮 S 被固定，齿圈 R 输 出，利用相似三角形定理，齿圈的转速 nR ＝（κ－１）nPC ／κ，属于减速同向，与公式（５）计算结果一样，但杠杆 法更简单、直观。
此方程代入另一方程中的共体元件，就可将双联方程
变为只有输入、输出转速的单列方程；将输入转速放
在等号左边，输出转速放在等号右边，解出输入轴转
速和输出轴转速关系的方程，再除去转速，即得到输
入轴与输出轴的速比。这种算法对单排和双排行星齿
轮传动分析还比较简单，但分析多排行星齿轮传动时
就比较困难了，特别是在判断机构可能实现的传动比
中图分类号：Ｇ６４２．０
文献标识码：Ｂ
文章编号：１６７２－５４５Ｘ（２０１２）１１－０１７５－０３
在机械中，常用到由几个基本周转轮系或定轴 轮系和周转轮系组合而成的复合轮系。由于整个复 合轮系不可能转化成一个定轴轮系，所以不能只用 一个公式来求解。计算复合轮系时，首先必须将各个 基本周转轮系和定轴轮系区分开来，然后分别列出 方程式，最后联立解出所要求的传动比［１］。但是对初 学者来说，不易区分周转轮系和定轴轮系，计算传动 比过程也比较繁琐。因此，本文从行星齿轮机构的运 动特性方程式出发，介绍了一种对行星齿轮机构进 行运动学和动力学分析的图解方法 － 杠杆法，并应 用杠杆法对汽车自动变速器中的典型行星齿轮机构 进行传动比的分析。
行星齿轮的数目、行星排的数目，改变排与排之间的
排列组合以及构件间的连接和控制方式，可以得到较
为理想的传动比。传动比计算方法通常采用解方程
法，即根据式（２）或式（４）列出各行星排三元一次联立
方程，确定方程中各转速的关系，输入、输出元件以及
各排中的共体元件。具体为：先解出转速为 ０ 的（有制
动）单排方程，解出以共体元件为主函数的方程；再以