2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点， |AF|＝54x0，则x0＝________. 答案：1
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点， |AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________． 答案：54
研透高考·深化提能
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[全析考法]
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2.[考法二]已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，点 A(0，－ 3)．
若线段 FA 与抛物线 C 相交于点 M，则|MF|＝
()
A.43
B.
5 3
C.23
D.
3 3
解析：由题意，F(1,0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则 M 到准
线的距离为 d，M 的横坐标为 d－1，由三角形相似，可得
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突破点二 抛物线的标准方程及性质
抓牢双基·自学回扣
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[基本知识]
图形
标准方程
y2＝
y2＝
x2＝
x2＝
2px(p＞0) －2px(p＞0) 2py(p＞0) －2py(p＞0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点坐标
C． 2 D． 3
[解析] 如图，过 N 作准线的垂线 NH，
垂足为 H.根据抛物线的定义可知|NH|＝
|NF|，在 Rt△NHM 中，|NM|＝ 2|NH|，
则∠NMH＝45°.在△MFK 中，∠FMK＝
45°，所以|MF|＝ 2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.故选 C.
[答案] C
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[例 2] (2019·长沙四校联考)过抛物线 C：y2＝4x 的焦点
F 的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，与抛物线的准线交于
点 M，且―FM→＝3―F→P ，则|―F→P |＝
3
2
4
3
A.2
B.3
C.3
D.4
()
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[解析] 如图，不妨设 Q 点在第一象限，
过 P 作 PN 垂直于抛物线的准线，垂足为 N， 由抛物线定义可知|PF|＝|PN|， 又因为―FM→＝3―F→P ，所以―PM→＝2―F→P ， 所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|， 在 Rt△PNM 中，cos∠MPN＝||PPMN||＝12， 由抛物线焦点弦的性质可知|―P→F |＝1＋cosp∠MPN ＝1＋2 12＝43.故选 C. [答案] C
第五节 抛物线
[考纲要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合思想．
Contents
1 突破点一 抛物线的定义及其应用 2 突破点二 抛物线的标准方程及性质 3 课时跟踪检测
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焦点到准线的距离为
()
A．4
B．8
C．16 D．32
[解析] 设抛物线的准线方程为
x＝－p2(p＞0)，如图，则根据抛物线的性质有|PF|
＝p2＋6＝10，解得 p＝8，所以抛物线的焦点到
准线的距离为 8. [答案] B
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(2)(2018·赣州二模)抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，
故选 C.
答案：C
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3.[考法一]已知 M 是抛物线 x2＝4y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1 上，则|MA|＋|MF|的最小值是 ________． 解析：依题意，由点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝－1 引垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|， 结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1，5)到 y＝－1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6－1＝5，因此 |MA|＋|MF|的最小值是 5. 答案：5
准线方程 离心率 焦半径
2p，0
－2p，0
0，p2
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
e＝1
|PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝ y0＋p2
0，－2p y＝p2
|PF|＝－y0＋p2
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，
＝12×1×2＝1.故选 B. 答案：B
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2.[考法二]已知 AB 是抛物线 y2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，
则 AB 中点 C 的横坐标是
()
1
3
5
A.2
B.2
C.2
D.2
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
又 p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点 C 的横坐标是x1＋2 x2＝32.
＝2p，由抛物线定义知 x＋p2＝2p，所以 x＝32p，所以 y＝± 3p，
又△MFO 的面积为 4 3，所以12×p2× 3p＝4 3，解得 p＝ 4(p＝－4 舍去)．所以抛物线的方程为 y2＝8x.
[答案] B
(2)(2019·江西协作体联考)设抛物线 C：y2＝2px(p＞0) 返回
的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆
过点(0,2)，则 C 的方程为
()
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
[解析] 由已知得抛物线的焦点 F p2，0，设点 A(0,2)， 抛物线上点 M(x0，y0)，则―A→F ＝p2，－2，―AM→＝2yp20 ，y0－2.
∴Ap2，4p， 又∵点 A 在抛物线 y2＝2px 上，∴1p62＝2p×p2，即 p4＝16， 又∵p＞0，∴p＝2，故选 B.
[答案] B
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[方法技巧] 用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形 可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特 征，体现了数形结合思想解题．
()
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：设 P(xP，yP)，由题意可得抛物线的焦点为 F(1，0)，
准线方程为 x＝－1，又点 P 到焦点 F 的距离为 2，∴由抛物
线的定义知点 P 到准线的距离为 2，∴xP＋1＝2，得 xP＝1，
代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP 的面积为 S＝12·|OF|·|yP|
考法一 抛物线的定义及应用
[例 1] (1)(2019·赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛
物线 y2＝2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|
取得最小值的 M 的坐标为
()
A．(0,0) C．(1， 2)
B．12，1 D．(2,2)
[解析] 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA|
且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.
()
(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )
(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．
答案：(1)× (2)× (3)×
()
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二、填空题 1．已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线
2x－4y＋11＝0 上，则此抛物线的方程是________． 答案：y2＝－22x 2．抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝1，则 a 的值为________． 答案：－14 3．已知 F 是抛物线 x2＝8y 的焦点，若抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为 5，则|AF|＝________. 答案：7
由已知得―A→F ·―AM→＝0，即 y20－8y0＋16＝0，因而 y0＝4，
M8p，4.由|MF|＝5 得， p＝2 或 p＝8，故选 C.
8p－p22＋16＝5，又 p＞0，解得 [答案] C
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[方法技巧] 求抛物线方程的 3 个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于 四种类型中的哪一种．
突破点一 抛物线的定义及其应用
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 焦点 ， 直线l叫做抛物线的 准线 ．
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一
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[方法技巧] 焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解 题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程 正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
[集训冲关]
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1．[考法一]若抛物线 y2＝4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，
O 为坐标原点，则△OFP 的面积为
A 是抛物线上一点，若 A 到 F 的距离是 A 到 y 轴距离的两倍，
且三角形 OAF 的面积为 1，O 为坐标原点，则 p 的值为( )
A．1
B．2 C．3
D．4
[解析] 不妨设 A(x0，y0)在第一象限，
x0＋p2＝2x0， 由题意可知
S△OAF＝12·p2·y0＝1，
即x0＝p2， y0＝4p，
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[方法技巧] 利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上 的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线 应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线 距离有关问题的有效途径．
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考法二 焦点弦问题