b R q q d d
q'
镜像电荷放在当前求解的场域外，镜像电荷等于负的感应电荷总量 不接地金属球附近放置点电荷 q 的电场分布 q'
1 2 q 1 2
q' '
2 2 q 1 2
R R2 q, b d d
2bK 圆半径 a 2 K 1
2 2 2
P0
P
E dl dl
P
P0

P0
P
E dl d P P0

P0
P
E dl
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点，电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点 曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向，电位相等的点连成的曲面称为等位面， 等位线(面)方程 ( x, y, z ) C 当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线( 面 )
n
f 2 ( s)
S
（＋
x
) f 3 ( s) n S
y 0
长直同轴电 缆中静电场 的边值问题 定理
( xb,0 y b及y b,0 xb) U
(x
2
y 2 a 2 , x 0, y 0 )
0
( x 0 ,b y a )
n
E1
2U 0 1U 0 E2 1d 2 2 d1 1d 2 2 d1
0
2
E1 E2
q0 1 1 1S1 2 S 2
方程 边值 问 题、 惟一 性定 理
泊松方程

2
拉普拉斯方程
—拉普拉斯算子
2
2 2 2 2 2 2 x y z
E dS
S
1
0
q
i 1
n
i
E 的通量等于闭合面 S 包围的净电荷。S 面上的 E 是由系统中全部电荷产生的。
导体内电场强度 E 为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面。 电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列； 电介质内部和表面产生极化电荷，极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。

电流 密度
电流线密度 K
A m 电流 I ( K en ) dl en 是垂直于 dl，且通过 dl
l
与曲面相切的单位矢量。 工程应用：媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。 元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流
元电流的概念 欧姆 定律 焦尔定律 电源 电动 势与 局外 场强 电源 电源 电动 势
电轴 法
两根细导线产生的电位
K 2 1 2 2bK b) y 2 ( 2 ) 2 等位线方程 ( x 2 K 1 K 1
圆心坐标 h , 0
K 2 1 h 2 b K 1
a、h、b 满足关系 a h b (h b)(h b)
版权所有 翻版必究
-2-
南京理工大学 刘中华 倾力制作
E 线起始于正电荷，终止于负电荷; E 线与等位线（面）正交； E 的通量
E (r )
1 4π 0

r r' r r'
3
V
(r ' )dV
E (r )
(r ' ) 0
说明静电场是有源场，电荷是电场的通量源
EdV
V 0
1
V
dV
散度定理 导体的性质 电介质
l
D dS q
S
D E
折射定理
E 的衔接条件
的衔接条件
D2n D1n
D 的法向分量不连续
E2t E1t
E 的切向分量连续
tan 1 1 tan 2 2
D2n D1n ， E1t E2 t
1 2 电位连续
1＝2 ，1
传导电流 运动电流 位移电流
2
电荷在导电媒质中的定向运动 带电粒子在真空中的定向运动 随时间变化的电场产生的假想电流 电流 I J dS
S
电流面密度 J 导电 媒质 中的
体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 J v A m 面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。电流线密度 K v
KdS νdl (线电流元） Idl dq νdV (体电流元) JdV νdS (面电流元）
微分形式
在线性媒质中
J E
积分形式
U RI
电容的计算思路 同心球壳电容器的电容 孤立导体球的电容
Q E U E dl C
l
Q U
C
q 4π 0 ab U ba
b
连续分布的电荷
C 4π 0 a
n 个点电荷的系统 用场源表示静电能量 静电能量 用场量表示静电能量
W
1 n qii 2 i 1
极化强度 P
P lim
p
V
C/m2 表示电介质的极化程度，即电偶极矩体密度。
V 0
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 P e 0 E c —电介质的极化率 极化强度与极化电荷的关系 极化强度 P 是电偶极矩体密度
版权所有 翻版必究
-1-
南京理工大学 刘中华 倾力制作
单个电偶极子产生的电位 矢量恒等式
0
( y 0 ,b x a )
平面导体的镜像
惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。 空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布 地面上感应电荷的总量 q 球面导体的镜像 不同介质分界面的镜像
镜像 法与 电轴 法
镜像 法
镜像电荷位置 b
R2 d
镜像电荷大小 q'
电力线方程 ( 球坐标系 )
E p
电力线与等位线（面）的性质 E 的散度 真空 中的 高斯 定律 高斯 定律 电介 质中 的高 斯定 律
q 4π 0 r 3
(2 cos er sin e )
r D sin 2
E 线不能相交，等 线不能相交； E 线愈密处，场强愈大; 高斯定律的微分形式
E dl ( E ) dS 即 E dl 0
l s l
电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场
E
E [
电场 强度 和电 位
ex ey ez ] x y z
负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位 连续分布电荷
点电荷群 已知电荷求电位
(r )
1 4π 0
r r ' C
i 1 i
N
qi
(r )
1 4π 0
P0 P

V'
dq C r r'
dq dV , dS , dl
线积分 P
与 E 的积分关系 电位参考点 电力线与等位线（面） 电位 函数

南京理工大学 刘中华 倾力制作
工程电磁场导论
第一章 静电场
库仑 定律
F21
q1q2 e12 4π 0 R 2
单个点电荷
F21 F12
ε0 8.85 1012
n 个点电荷
E p ( R)
电场 强度
F q eR qt 4π 0 R 2
E p (r )
q 4π 0 r r '
p P
p P en
S'
(r )
1 4π 0

p (r ' )
R
V'
dV '
1 4π 0

p (r ' )
R
S'
dS '

V'
PdV ' P en dS ' 0
高斯定律的积分形式
电介质均匀极化时，极化电荷体密度 相对介电常数
两带电长直平行传输线 的电场及电位分布 平行传输线之间电压为 U0
电轴位置 b
h2 a 2
EP
1 1 ( e e ) 2π 0 1 2
1 2
p
ln 2 以 y 轴为参考电位 2π 0 1

U0 ln 2 b (h a) 1 2 ln b (h a)
2
r r' r r'
dq eR 4π 0 R 2
E (r )
1 4π 0
qk 1 e 2 k 4π 0 k 1 Rk
N

k 1
N
qk (r rk ) r rk
3
连续分布电荷 dE 体电荷分布
元电荷 dq dV dS dl 线电荷分布 无限长直导线产生的电场
1
1 2 2 n n
电位的法向导数不连续
导体与电介质分界面上的衔接条件 导体中 E＝0 ，分解面介质侧 Dn ， Et 0
1 2 2 n n 0
const ,
（1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； （2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 两个平行板电容器的电场强度
2
面电荷分布
2
E
1 4π 0

dV
R
V
eR
E
1 4π 0

dS
R
2
S
eR
E
1 4π 0

dl
R
l
eR