2．2 函数²例题解析【例1】判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？ (1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1(3)y ＝11--xx 解 (1)由x 2＋y ＝1得y ＝1－x 2，它能确定y 是x 的函数．(2)x y 1y y x 2由＋＝得＝±．它不能确定是的函数，因为对1-x于任意的x ∈{x|x ≤1}，其函数值不是唯一的．(3)y y x ＝的定义域是，所以它不能确定是的函数．11--∅xx 【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？(1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2＝，＝＝，＝∅t x 22(3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)＝²，＝＝²，＝x x x x x x+--+--11111122解 (1)中两式的定义域部是R ，对应法则相同，故两式为相同函数． (2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．(4)中两式的定义域都是－1≤x ≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)2(2)f(x)(3)f(x)＝＋＋＝＝x x x x x x x --+----14532102152||(4)f(x)(4x 5)(1)x 10 4x 01x 4{x|1x 4}(2)3x 20x {x|x }＝＋－由－≥－≥得≤≤．∴定义域是≤≤由－＞，得＞，∴定义域是＞812323||x -⎧⎨⎩解(3)10x x 210|x|503x 7x 5{x|3x 7x 5}2由－－≥－≠得≤≤且≠，∴定义域是≤≤，且≠⎧⎨⎩(4)10 |x|0 4x 508x 00x x 8[80)(0)()由－≥≠－≠解得－≤＜或＜＜或＜≤∴定义域是－，∪，∪，8545454548||x ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：(1)y f (2)y f(2x)f (3)y f ＝＝＋＝()()()1232xx xa+解(1)01x 1x 1f(){x|x 1x 1}由＜≤，得≤－或≥，∴的定义域是≤－或≥1122xx(2)02x 10x 10x f(2x)f(x ){x|0x }(3)01由≤≤≤＋≤得≤≤∴＋＋的定义域是≤≤≤≤23132313⎧⎨⎪⎩⎪x a当＞时，得≤≤，定义域为，当＜时，得≤≤，的定义域为，若函数＝的定义域是一切实数．a 00x a f(xa )[0a]a 0a x 0f(xa)[a 0]y 【例5】ax ax a21-+求实数a 的取值范围．解 x ax ax 0a 0 a 400a 222∵∈，－＋≥∴＞Δ＝－≤＜≤．R 1a⎧⎨⎩⇔为所求a 的取值范围．【例6】求下列函数的值域： (1)y ＝－5x 2＋1(2)y 3＝＋x +4(3)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[－1，1) (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[－1，3](5)y (6)y ＝＝25131222xx x x +-+(7)y(8)y 2x 3＝＝－＋41253241322x x x x x -+-+-(9)y ＝|x －2|－|x ＋1|解 (1)∵x ∈R ，∴－5x 2＋1≤1，值域y ≤1．(2)x 433y 3(3)y x 5x 62∵≥－，∴＋≥，∴值域≥∵＝－＋＝－x x +-452142() ∵－，，在区间－，上为减函数，如图．－．∴值域∈，．＝－，5252142∉-[[()11)y 11)221y (212)(4)y x ∵－，，如图－，当＝时，＝－．当＝－时，＝．∴值域∈－，52521414∈[13] 2.22x y x 1y 12y [12]min max(5)y 5(x +)y y {y|y y }＝＝＝－∴≠．故值域∈∈且≠25121515152525512525x x x x ++-+()()R(6)定义域为R∵≠，∴由＝，解得＝，又∵≥，∴≥解得－≤＜，值域∈－，y 3y x x 00y 3y [3)22312123123121222x x yy yy -+------(7)解：定义域x ≠1且x ≠2由去分母整理得：41253222x x x x -+-+(y －4)x 2－3(y －4)x ＋(2y －5)＝0 ① 当y －4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0， 即9(y －4)2－4(y －4)(2y －5)≥0 化简得y 2－20y ＋64≥0，得 y ＜4或y ≥16当y ＝4时，①式不成立． 故值域为y ＜4或y ≥16．(8)()4x 130x t t 0解法一由－＞，得≥，设＝，则≥．134413x - ∴＝．那么＝³－＋＝＋＋≥x y 23t (t 1)3(t 0)2t t 2213413412++函数y 在t ≥0时为增函数(见图2．2－3)．∴＋＋≥．故所求函数值域为≥．解法二∵＝－＋．127272413(t 1)3y ()y 2x 32x -∴＝－＋＝＋＋∴＝＋＋≥，即≥2y 4x 624x 13(4x 131)26y (4x 131)3y 2---127272 (9)解：去掉绝对值符号，f(x)3(x 2) 2x 1(1x 2) 3(x 1)＝－＞－＋－≤≤＜－⎧⎨⎪⎩⎪ 其图像如图2．2－4所示．由图2．2－4可得值域y ∈[－3，3]． 说明 求函数值域的方法：1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2) 2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，在给定区间[m ，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：(i)x n 225()f(x)f(m)f(x)f(n)(ii)x [m n]225()f(x)f()max min min 当对称轴＝－＞时，如图．－甲，＝，＝．当对称轴＝－∈，时，如图．－乙，＝－，bab a b a222f(x)f(m)f(n)(iii)x m 225()f(x)f(n)f(x)f(m)max max min 是，两值较大者．当对称轴＝－＜时，如图．－丙，＝，＝ba23y (c 0)y °分离常数法：型如＝既约分式，≠的值域为≠，ax b cx d ac++(如例5)可做公式用．4y (a a )y x 12°判别式法：型如＝、不同为零，不能约为型如＝．可将函数解析式转化为关于的二次方程，用判别式a xb xc a x b x c ax bcx d1211222++++++法求y 的范围(如例6－7)．5y ax b °型如＝＋±，可利用换元法或配方法将原函数化cx d +为二次函数求值域．但要注意中间量t 的范围(如例6－8)．6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y 的值域(如例6－6)．7°图像法(如例6－9)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．【例7】(1)f(x 1)2x 4x f(1)(2)f(x)10(x 0) 10x(x 0)f[f(7)]2已知＋＝－，求－已知＝＜≥求－．2⎧⎨⎩解(1)x 11x f(1)2()4()442由＋＝－得＝－，∴－＝－－－＝＋．222222解 (2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．说明 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．【例8】根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f(x)＝3x 2－1，求①f(x －1)，②f(x 2)． (2)已知f(x)＝3x 2＋1，g(x)＝2x －1，求f[g(x)]．(3)f(x 1)x 6x 7已知－＝－－．求f(x)．(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x ＋1)－f(x)＝x －1，求f(x)．(5)设周长为a(a ＞0)的等腰三角形，其腰长为x ，底边长为y ，试将y 表示为x 的函数，并求它的定义域和值域．(1)分析：本题相当于x ＝x －1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．解 ∵f(x)＝3x 2－1∴f(x －1)＝3(x －1)2－1＝3x 2－6x ＋2 f(x 2)＝3(x 2)2－1＝3x 4－1(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x 用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．解 由已知得f[g(x)]＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4(3)f(x 1)x 6x 7x 1x x 1f(x)分析：∵已知－＝－－，可将右端化为关于－的表达式，然后用代替－，就可求得表达式．这种方法叫凑配法(或观察法)．解法一() f(x 1)x 6x 7(x 1)4(x 1)12(x 11)f(x)x 4x 12(x 1)22－＝－－＝－－－－－≥－∴＝－－≥－解法二() t x 1t 1令＝－，则≥－，∴x ＝(t ＋1)2代入原式有f(t)＝(t ＋1)2－6(t ＋1)－7 ＝t 2－4t －12 (t ≥－1) 即f(x)＝x 2－4x －12 (x ≥－1)说明 解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)由f(0)＝2，得c ＝2．由f(x ＋1)－f(x)＝x －1，得恒等式2ax ＋(a b)x 1x a b f(x)x x 22＋＝－，比较等式两边的同次幂的系数得＝，＝－，故所求函数＝－＋12321232说明 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．(5)解：∵2x ＋y ＝a ，∴y ＝a －2x 为所求函数式． ∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴得2x ＋2x ＞a ，又∵y ＞0，∴－＞，由＞－＞＜＜得函数的定义域为∈，a 2x 04x a a 2x 0x x (a 4)⎧⎨⎩⇒a aa422由＜＜，得＜－＜，即得函数的值域为∈，．a a a a4222x 0a 2x y (0)说明 求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．。