2020-2021学年安徽省马鞍山市第二中学高一（创新实验班）上学期阶段检测数学试题一、单选题1．设集合{}1,0A =-，{,B t t y x x A ==-∈且}∈y A ，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D【分析】根据集合元素的性质确定集合{}1,0,1B =-，接着运算交集即可. 【详解】由于：()()101,011,11000--=---=---=-=，故由题意可知：{}1,0,1B =-，结合交集的定义可知：{}1,0A B ⋂=-. 故选：D【点睛】本题考查集合元素的性质，交集的运算，属于基础题. 2．不等式(1)20x x -+≥的解集是( ) A ．{|1}x x >B ．{|1}x x ≥C ．{|21}x x x ≥-≠且D ．{|21}x x x =-≥或【答案】D 【解析】本题考查不等式的解法由算术平方根的定义知20x +≥，所以2x ≥-；①② 又20x +≥，所以由有1020x x -≥⎧⎨+≥⎩解得1≥x ② 由①②得1≥x 又当2x =-时也满足条件，故正确答案为D 3．已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax ++>，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】分别由命题p,q 求得a 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解不等式114a >可得04a <<， 对于命题q ，当0a =时，命题明显成立；当0a ≠时，有：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<， 即命题q 为真时04a ≤<， 故p 成立是q 成立的充分不必要条件. 故选A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}25x x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．1125x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}52x x -<<- D ．1125x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】根据一元二次不等式20ax bx c ++>的解集求出a 、b 、c 的关系，代入不等式20cx bx a ++>化简求解即可．【详解】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<， 所以0a <，且2，5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根， 所以257b a -=+=，2510ca=⨯=， 所以7b a =-，10c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++>化为21070ax ax a -+>，即210710x x -+<，解得1152x <<． 因此不等式的解集为11{|}52x x <<．故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系应用问题，5．已知正数x ，y 满足2340xy y +-=，则35x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【分析】将2340xy y +-=，变形为43=+x y y，再代入35x y +，利用基本不等式求解.【详解】因为正数x ，y 满足2340xy y +-=，所以43=+x y y，所以4353448+=++=+≥=x y x y y y y ， 当且仅当44=y y，即1y =时，取等号，所以35x y +的最小值为8 故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 6．已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足22(23)()5tf x x f x -+-<+的x 的取值范围（ ）A ．(1,)+∞B ．(]0,1C ．(D ．⎡⎣【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得.【详解】因为函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，所以320t -+-=，5t =， 所以函数()f x 是定义在[]3,3-上的偶函数，()()f x f x ∴=，又在[]3,0-上单调递减，则()f x 在[]0,3上单调递增所以22(23)()5tf x x f x -+-<+等价于22(23)(1)f x x f x -+<+， 即2202313x x x ∴≤++<≤-，12x <.故选: C.【点睛】本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题. 7．设0x >，0y >，且不等式11()9ax y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥ B ．02a <≤ C ．04a <≤ D ．2a ≥【答案】A【分析】利用题设条件和基本不等式求得11()()ax y x y++的最小值，即可得到21)9，解出a 的取值范围即可．【详解】0x ，0y >，0a >，211()()1121)y ax ax y a a x y x y ∴++=+++++（当且仅当y ax x y=时取等号)，又11()()9ax y x y ++恒成立，21)9∴+，解得：4a ，故选：A ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素, N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素, N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素, N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素, N 没有最小元素 【答案】C【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．二、多选题9．已知集合{}23100A x Z x x =∈+-<，{}22240B x x ax a =++-=.若A B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】BD【分析】化简集合,A B ，根据AB 中恰有2个元素，列式可解得结果.【详解】{}23100A x Z x x =∈+-<{|52}x Z x =∈-<<{4,3,2,1,0,1}=----，{}22240B x x ax a =++-={2,2}a a =---+，因为2(2)4a a -+---=，且AB 中恰有2个元素，所以2024a a --=⎧⎨-+=⎩或2321a a --=-⎧⎨-+=⎩，解得2a =-或1a =.故选：B D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合的交集中元素个数求参数，属于中档题.10．（多选题）已知集合{}|4A x Z x =∈<，B N ⊆，则（ ） A ．集合B N N ⋃= B ．集合AB 可能是{}1,2,3C ．集合AB 可能是{}1,1-D ．0可能属于B【答案】ABD【分析】根据集合Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【详解】∵B N ⊆，∴B N N ⋃=，故A 正确．∵集合{}4A x Z x =∈<，∴集合A 中一定包含元素1，2，3， ∵B N ⊆，∴集合AB 可能是{}1,2,3，故B 正确；∵1-不是自然数，∴集合AB 不可能是{}1,1-，故C 错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合B ，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了集合Z ，N 的概念及集合元素的特点，属于基础题．11．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，【答案】AB【分析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件. 【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞， 故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.12．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.三、填空题13．若定义在R 上的奇函数()f x 单调递减，则不等式()2(21)40f x f x ++->的解集为________． 【答案】(3,1)-【分析】根据()f x 为R 上的奇函数原不等式化为2(21)(4)f x f x +>-，再根据()f x 在R 单调递减，便有2214x x +<-，解该不等式即可得出原不等式的解集．【详解】()f x 是R 上的奇函数，且单调递减；∴由2(21)(4)0f x f x ++->得：2(21)(4)f x f x +>-；2214x x ∴+<-；解得31x -<<；∴原不等式的解集为(3,1)-．故答案为：(3,1)-．14．已知集合2{|5140}A x x x =--≤，集合{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(],4-∞【分析】求得集合{|27}A x x =-≤≤，根据B A ⊆，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合2{|5140}{|27}A x x x x x =--≤=-≤≤ 当B φ=时，则121m m +≥-，解得2m ≤；当B φ≠时，若B A ⊆，如图所示：则满足12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得24m <≤．综上，m 的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视B φ=是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知条件2:340p x x --；条件22:690q x x m -+-≤，若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m ≥或4m ≤-【分析】分别计算条件,p q ，再计算q ￢和p ￢，根据范围大小得到答案.【详解】∵条件2:340p x x --；∴:14p x -≤，∴:4p x ⌝>或1x <-，∵条件22:690q x x m-+-，，∴:3q x m ⌝>+或x 3m <-， 若q ￢是p ￢的充分不必要条件，则31434m m m ⎧--⎪⇒≥⎨+⎪⎩，解得：4m ≥或4m ≤-故答案为4m ≥或4m ≤-【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力. 16．已知3a b +=，且,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】[]4,1-【分析】根据,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立，先利用基本不等式求得4042404220192020a b +++的最小值，再利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为,0a b ∀>，3a b +=， 所以201920204042a b +++=， 所以4042404220192020201920202019202020192020a b a b a b a b +++++++=+++++，2020201922420192020b a a b ++=++≥+=++当且仅当2020201920192020b a a b ++=++，即2,1a b ==时，取等号，又,0a b ∀>，都有240424042320192020x x a b +≥+++恒成立， 所以234x x +≤， 所以2340x x +-≤， 即()()410x x +-≤， 解得41x -≤≤， 故答案为：[]4,1-【点睛】本题主要考查基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题 17．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 【答案】(1) a ＝6，b ＝9，c ＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0即得c ＝－8. 因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b 的值.(2)先求出P ＝－≤x ≤1}，再求集合P ∩Z. 【详解】(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8. (2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－≤x ≤1， 所以P ＝－≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝－≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}分析得到A ＝{3}.18．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与命题q 一真一假，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤..【分析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）先求出命题q 为真时，m 的范围.根据p ，q 一真一假，结合（1），即可求出m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-， 所以234m m -≥-，∴13m ≤≤.（2）对于命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min 210x x m -+-≤， 而()2min 212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题， p 为假命题，则1m <或3m >，q 为真命题，则2m ≤所以1m <.综上：1m <或23m <≤.【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.19．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()4f x x x =-+． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若函数()y f x =在区间(,1)t t +上是单调函数，求t 的取值范围．【答案】（1）224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；（2）3-t 或2t 或21t -. 【分析】（1）利用已知，任取(,0)x ∈-∞，可得(0,)x -∈+∞，则2()()4f x f x x x =--=+，从而可得答案．（2）由（1）知：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；画出图象，由图象求解函数的单调区间，再根据包含关系列不等式求解即可．【详解】（1）当[0x ∈，)+∞时，2()4f x x x =-+，又因为()y f x =为奇函数，则任取(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，2()()4f x f x x x =--=+， 所以224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩； （2）由（1）知：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩；由图可知，()y f x =在(,2)-∞-，(2,)+∞上递减， 在()2,2-上递增，因为函数()y f x =在区间(,1)t t +上是单调函数，当12t +-，即3-t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减；当2t -，且12t +，即21t -时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递增； 当2t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减．综上， 3-t 或2t 时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递减；当21t -时，函数()y f x =在区间[t ，1]t +单调递增.即t 的取值范围是：3-t 或2t 或21t -.【点睛】本题考查函数的解析式的求解以及单调性的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，是中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．20．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【答案】（1）1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<；（2）[3,4]；（3）外周长的最小值为.【解析】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用x或y表示，根据梯形面积的计算得到x和y的等式，从而解出y，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得18310.52xyx=+≤，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：⑴1()2AD BC h=+，其中22xAD BC BC x=+⋅=+，=h x，∴1(22BC x x=+，得182xBCx=-，由{182h xxBCx=≥=->，得26x≤<∴1832,(26)2xy BC x xx=+=+≤<；6分⑵18310.52xyx=+≤得34x≤≤∵[3,4][2,6)⊂∴腰长x的范围是[3,4]10分⑶1832xyx=+≥=1832xx=，即[2,6)x=时等号成立．∴外周长的最小值为16分【考点】函数的应用、基本不等式、函数的最值.21．关于x的不等式22(1)ax x-<恰有2个整数解，求实数a的取值范围是？【答案】4332a<，或3423a-<-【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围．【详解】由题22(1)ax x-<恰有2个整数解，即22(1)0[(1)1][(1)1]0ax x a x a x--<⇔+---<恰有两个解，(1)(1)0a a ∴+->，即1a >，或1a <-．当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-， 11(0,)12a ∈+，恰有两个整数解即：1，2， 1231a ∴<-，22133a a -<-，解得：4332a <； 当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-， 11(12a ∈--，0)，恰有两个整数解即：1-，2-， 1321a ∴-<-+，2(1)13(1)a a -+<-+，解得：3423a -<-， 综上所述：4332a <，或3423a -<-． 【点睛】此题主要考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论．分类讨论思想的常见类型 ：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.22．设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。