5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是()A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为()3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间 5.函数f(x)=x+ln x( ) A.在(0,6)上是增函数 B.在(0,6)上是减函数C.在(0,1e )上是减函数,在(1e ,6)上是增函数D.在(0,1e )上是增函数,在(1e ,6)上是减函数 6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=sin x B.y=xe x C.y=x 3-x D.y=ln x-x7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1x +3ln x 的单调递增区间为( ) A.(0,1) B.(0,13)C.(1,+∞)D.(13,+∞)8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为( )A.(0,√e )B.(√e e,+∞)C.(√e ,+∞)D.(0,√ee)9.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2·e-x;.(3)f(x)=x+1x10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;(2)若a>0,求f(x)的单调区间.11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-4ln x的导函数3f'(x)的一个零点为x=1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)B.[-√3,√3]C.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)D.(-√3,√3)13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,3)∪(3,+∞)B.[3,+∞)C.(0,3]D.(0,3)14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是.x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围15.若f(x)=-12是.16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.(2020浙江绍兴高三上期末,)函数f(x)=x 2+xe x的大致图象是()4.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为.题组二利用导数研究函数的单调性及其应用5.(2020福建三明高二上期末质量检测,)若x,y∈[-π2,π2],且xsin x-ysiny>0,则下列不等式一定成立的是()A.x<yB.x>yC.|x|<|y|D.|x|>|y|6.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin x+2xf'(π3),f'(x)为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是()A.f(a)<f(b)B.f(a)>f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)≤f(b)7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析)A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)8.(多选)()若函数g(x)=e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为()A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+29.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是()A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln410.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a +1b的最小值为.11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1-ax-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,求不等式f(x)-f(2a-x)>0的解集.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=e x(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为()A.[1,+∞)B.(-∞,-√2]C.[√2,+∞)D.(-∞,-1]14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是()A.(12,32) B.[1,32)C.(1,52) D.[1,52)15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是(深度解析)A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在(0,π4)上单调递增,则实数a的取值范围是.深度解析17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=e x+ax2.(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2成立.附:简单复合函数求导法则为[f(ax+b)]'=af'(ax+b).答案全解全析 基础过关练1.B 函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.2.C ∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上为减函数,在(1,4)上为增函数,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.故选C.3.A 因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.4.答案 (-2,4)解析 由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x ≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-2<x ≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4). 5.A f'(x)=1+1x =x+1x(x>0),当0<x<6时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,6)上是增函数.6.B A 中,y'=cos x,在(0,+∞)内不恒大于0,故A 不满足题意;B 中,y'=e x +xe x =e x (1+x),当x ∈(0,+∞)时,y'>0,故B 满足题意;C 中,y'=3x 2-1,在(0,+∞)内不恒大于0,故C 不满足题意;D 中,y'=1x -1=1-x x,在(0,+∞)内不恒大于0,故D 不满足题意.故选B. 7.D 易知函数y=1x+3ln x 的定义域为(0,+∞),y'=-1x+3x=3x -1x ,令y'=3x -1x >0,解得x>13.故选D.8.D 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x ·ln x+x 2·1x=2xlnx+x=x(2ln x+1).令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得0<x<√ee, 故函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为(0,√e e). 9.解析 (1)易知函数的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2x ,令f'(x)=0,解得x 1=√33,x 2=-√33(舍去),用x 1分割定义域,得下表:x (0,√3)(√3,+∞) f'(x) - + f(x)↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(0,√33),单调递增区间为(√33,+∞).(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).f'(x)=(x 2)'e -x +x 2(e -x )'=2xe -x -x 2e -x =e -x ·(2x-x 2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,0) (0,2) (2,+∞) f'(x) - + - f(x) ↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=1-1x ,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞) f'(x) + - - + f(x) ↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).10.解析 (1)∵f(x)=x 3-ax 2+b(a,b ∈R),∴f'(x)=3x 2-2ax. ∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0, ∴{f'(1)=3-2a =-1,f(1)=1-a +b =0, 解得{a =2,b =1. (2)由(1)得f'(x)=3x 2-2ax=3x x-2a 3,令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.∵a>0,∴当f'(x)>0时,x ∈(-∞,0)∪2a 3,+∞;当f'(x)<0时,x ∈(0,2a 3).∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2a 3,+∞),单调递减区间为(0,2a3).11.解析 (1)f'(x)=2ax+2-43x ,由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f(x)=-13x 2+2x-43ln x,则f'(x)=-23x+2-43x=-2(x -1)(x -2)3x.令f'(x)=0,得x=1或x=2. 当f'(x)>0时,1<x<2; 当f'(x)<0时,0<x<1或x>2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).12.B 由题意知,f'(x)=-3x 2+2ax-1,因为y=f(x)在R 上是单调函数,且y=f'(x)的图象开口向下,所以f'(x)≤0在R 上恒成立,故Δ=4a 2-12≤0,即-√3≤a ≤√3.13.D 由题意得f'(x)=3ax 2+6x+1(a>0), ∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间, ∴f'(x)有两个不同的零点, ∴Δ=36-12a>0,解得0<a<3, ∴实数a 的取值范围是(0,3).故选D. 14.答案 (-∞,2]解析 由题意得y'=2x-2b ≥0在(2,8)内恒成立,即b ≤x 在(2,8)内恒成立,所以b ≤2. 15.答案 (-∞,-1]解析 ∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数, ∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. ∵f'(x)=-x+b x+2,∴-x+bx+2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 则当x>-1时,g(x)>-1,∴b ≤-1.16.解析 易知函数f(x)=kx-ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x)=k -1x =kx -1x.当k ≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0, 则f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当k>0时,令f'(x)<0,得0<x<1k ;令f'(x)>0,得x>1k.∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1k ),单调递增区间为(1k ,+∞).综上所述,当k ≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1k ),单调递增区间为(1k ,+∞). 17.解析 由题意得f'(x)=3x 2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1), ∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根, ∴3-2a 3=1,∴a=0.(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减, ∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1, ∴3-2a 3≥1,∴a ≤0.∴实数a 的取值范围是{a|a ≤0}.能力提升练1.D 设导函数y=f'(x)的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为x 1,x 2,x 3,其中x 1<0,x 3>x 2>0,故y=f(x)在(-∞,x 1)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在(x 2,x 3)上单调递减,在(x 3,+∞)上单调递增.故选D.2.A 由f(x)的图象得,f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此,当x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x ∈(-1,1)时,f'(x)<0.则xf'(x)<0⇔{x >0,f'(x)<0或{x <0,f'(x)>0,解得0<x<1或x<-1,故选A. 3.A 函数y=x 2+x e 的导数为y'=-x 2+x+1e ,令y'=0,得x=1±√52, 当x ∈(-∞,1-√52)时,y'<0,当x ∈(1-√52,1+√52)时,y'>0, 当x ∈(1+√52,+∞)时,y'<0.∴函数在(-∞,1-√52)和(1+√52,+∞)上单调递减,在(1-√52,1+√52)上单调递增,排除D.当x=0时,y=0,排除B.当x=-1时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A. 4.答案 (0,1),(4,+∞) 解析 g'(x)=f'(x)e x -f(x)(e x )'(e )=f'(x)-f(x)e ,由题中图象可知,当x ∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0; 当x ∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0, 故函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).5.D 构造函数f(x)=xsin x,x ∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sin x+xcos x.当0≤x ≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在[0,π2]上是增函数,从而xsin x-ysiny>0⇔xsin x>ysin y ⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D. 6.B 由题意得,f'(x)=cos x+2f'(π3),f'(π3)=cos π3+2f'(π3), 解得f'(π3)=-12,所以f(x)=sin x-x.所以f'(x)=cos x-1≤0, 所以f(x)为减函数. 因为b=log 32>log 3√3=12=a,所以f(a)>f(b),故选B.7.B 令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R 上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.易错警示 构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.8.AD 对于A,f(x)=2-x,则g(x)=e xf(x)=e x·2-x=(e 2)x为R 上的增函数,符合题意;对于B,f(x)=3-x,则g(x)=e xf(x)=e x·3-x=(e 3)x为R 上的减函数,不符合题意;对于C,f(x)=x 3,则g(x)=e x f(x)=e x ·x 3, g'(x)=e x ·x 3+3e x ·x 2=e x (x 3+3x 2)=e x ·x 2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)=e x f(x)在定义域R 上先减后增,不符合题意;对于D,f(x)=x 2+2,则g(x)=e x f(x)=e x (x 2+2),g'(x)=e x (x 2+2)+2xe x =e x (x 2+2x+2)>0在R 上恒成立,符合题意.故选AD. 9.AC 设函数f(x)=x lnx,x>0且x ≠1,则f'(x)=lnx -1ln 2x=1lnx -1ln 2x,x>0且x ≠1,f″(x)=2-lnxx(lnx),x>0且x≠1,当x→+∞时,f″(x)<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)=xlnx的图象如图所示:由图象可得随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.10.答案1解析因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,∴1a +1b=19(1a+1b)(4a+b)=195+ba+4ab≥195+2√ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a +1b的最小值为1.11.解析(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2x -1(x>0),f'(x)=1x+1-2x2,f(2)=ln2+2,f'(2)=1,故所求切线方程为y=x+ln2.(2)因为f(x)=ln x-ax+1-ax -1x>0,a≤12,所以f'(x)=1x -a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2(x>0),令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. (ii)当a ≠0时,令g(x)=0, 解得x=1或x=1a -1.①若a=12,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②若0<a<12,则函数f(x)在(0,1),(1a-1,+∞)上单调递减,在1,1a-1上单调递增;③当a<0时,1a -1<0,若x ∈(0,1),则g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 若x ∈(1,+∞),则g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.综上所述,当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),(1a -1,+∞)上单调递减,在1,1a -1上单调递增.12.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -a=1-ax x,①若a ≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当0<x<1a时,f'(x)>0,当x>1a时,f'(x)<0,综上,当a ≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1a ),单调递减区间为(1a ,+∞).(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞), ∴{x >0,2a -x >0,a >0,∴0<x<2a.设F(x)=f(x)-f (2a-x)=ln x-ax-ln (2a-x)+a (2a-x)=ln x-ln (2a -x)-2ax+2,x ∈(0,2a ),则F'(x)=1x+12a-x-2a=2a(x -1a )2x(2a -x)≥0,∴F(x)在(0,2a)上单调递增,又F (1a )=0,∴当x ∈(0,1a )时,F(x)<0,当x ∈(1a ,2a )时,F(x)>0,∴f(x)-f (2a -x)>0的解集为(1a ,2a). 13.C 因为f(x)=e x (a-cos x)在R 上单调递增,所以f'(x)=e x (a-cos x+sin x)≥0恒成立,即a ≥cos x-sin x 恒成立. 令g(x)=cos x-sin x,则g(x)=cos x-sin x=√2cos (x +π4),即g(x)∈[-√2,√2],所以a ≥√2.故选C. 14.D 因为f(x)=x 2-9ln x+3x, 所以f'(x)=2x-9x +3,令f'(x)=0,即2x-9x+3=0,解得x=32或x=-3(舍去).所以当x ∈(0,32)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x ∈(32,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调, 所以m-1<32<m+1,解得12<m<52,因为(m-1,m+1)是函数f(x)定义域内的子区间,所以m-1≥0,即m ≥1, 所以m 的取值范围是[1,52).故选D.15.D 由f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>2, 得f(x 1)-2x 1-[f(x 2)-2x 2]x 1-x 2>0, 令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x 2-2x(a>0),则g(x)为增函数, 所以g'(x)=a x +x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a ≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a ≥1.方法技巧 解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式a x +x-2≥0恒成立中的a 分离出来,即为a ≥x(2-x)恒成立.16.答案 (-∞,0]解析 函数f(x)=sin x-aln x 在0,π4上单调递增,即f'(x)=cos x-ax ≥0在(0,π4)上恒成立,即a ≤xcos x 在(0,π4)上恒成立.令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-x ·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在(0,π4)上恒成立,所以g'(x)在(0,π4)上单调递减, 又g'(π4)>0,所以g'(x)>0恒成立, 所以函数g(x)在(0,π4)上单调递增, 可得g(x)>g(0)=0,所以a ≤0.方法技巧 利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x ·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.17.解析 (1)当a=-14时,f(x)=-14x 2+ln(x+1)(x>-1),则f'(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x -1)2(x+1)(x>-1).令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,所以f'(x)=2ax+1x+1≤0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,即a ≤-12x(x+1)对任意x ∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=-12x(x+1),x ∈[1,+∞), 易求得g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,因此g(x)min =g(1)=-14,故a ≤-14. 即实数a 的取值范围是(-∞,-14]. 18.解析 (1)由已知得f'(x)=e x +2ax,则g(x)=f'(x)=e x +2ax,则g'(x)=e x +2a.①若a ≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意; ②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数,∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a ≤-e 2, 此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.由①②可得,使导函数f'(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a 的取值范围是(-∞,-e 2]∪[0,+∞). (2)证明:∵x 1≠x 2,∴不妨设x 1<x 2,取x 1为自变量构造函数F(x 1)=f (x 1+x 22)-f(x 1)+f(x 2)2,则F'(x 1)=12f'(x 1+x 22)-f'(x 1)2 =12[f'(x 1+x 22)-f'(x 1)],∵a>0,∴f'(x)=e x +2ax 在R 上单调递增, 又x 1+x 22-x 1=x 2-x 12>0,∴f'(x 1+x 22)>f'(x 1),即F'(x 1)>0.∴关于x 1的函数F(x 1)单调递增, ∴F(x 1)<F(x 2)=0,∴f (x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2.。