2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。

与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。

应力及其分量的量纲是L -1MT -2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

2、平面问题分为 和 。

平面应力问题 平面应变问题6、在弹性力学中规定，切应变以 时为正， 时为负，与 的正负号规定相适应。

直角变小 变大 切应力7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。

二是 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。

孔附近的应力高度集中 , 应力集中的局部性四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ；其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s fm l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。

此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ；（2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。

5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为b yx 222=∂∂=ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕτ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；下边，2hy =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2===h y y y f σ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy y f τ；右边，2lx =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠a ）。

解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为022=∂∂=yx ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，a y x xy -=∂∂∂-=ϕτ2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；下边，2hy =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2)(τ；右边，2lx =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2)(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。

因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0=x σ。

由此可知022=∂∂=yx ϕσ将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式())()(,21x f y x f y x +=ϕ将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414+dxx f d dx x f d y 这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即0)(414=dx x f d ， 0)(424=dxx f d 这两个方程要求I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=ϕ对应应力分量为022=∂∂=yx ϕσgy E Dx B Ax y xy ρϕσ-+++=∂∂=26)26(22C Bx Ax yx xy ---=∂∂∂-=2322ϕτ以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有0)(0==-=C x xy τ右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00==⎰dx y bxyτ将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有0)23(230232=--=--=--⎰Bb Ab BxAx dx Bx Ax b b而00)(00=⋅=⎰dx y b xy τ自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00==⎰dx y byσ，0)(00==⎰x d x y byσ将y σ的表达式代入，则有02323)26(2020=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx dx E Dx b b022)26(230230=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx xdx E Dx b b由此可得2bq A -=，b qB =，0=C ，0=D ，0=E 应力分量为0=x σ, gy b x b y q y ρσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23b x b x q xy τ虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一结果应是适用的。

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求解。

解：纯三次的应力函数为3223dy cxy y bx ax +++=ϕ相应的应力分量表达式为dy cx xf yx x 6222+=-∂∂=ϕσ, gy by ax yf x y y ρϕσ-+=-∂∂=2622, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕτ 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，所以有02)(0==-=bx y xy τ对上端面的任意x 值都应成立，可见0=b同时，该边界上没有竖直面力，所以有06)(0==-=ax y y σ对上端面的任意x 值都应成立，可见0=a因此，应力分量可以简化为dy cx x 62+=σ，gy y ρσ-=，cy xy 2-=τ斜面，αtan x y =，ααπsin 2cos -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l ，()ααcos cos =-=m ，没有面力，所以有()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==00tan tan αατστσx y xy y x y yx x l m m l 由第一个方程，得()0sin tan 6sin 4cos tan 2sin tan 62=--=-+-αααααααdx cx cx dx cx对斜面的任意x 值都应成立，这就要求0tan 64=--αd c由第二个方程，得0sin sin tan 2cos tan sin tan 2=-=-αρααααρααgx cx gx cx对斜面的任意x 值都应成立，这就要求0tan 2=-g c ρα（1分）由此解得αρcot 21g c =（1分），αρ2cot 31g d -= 从而应力分量为αραρσ2cot 2cot gy gx x -=, gy y ρσ-=, αρτcot gy xy -=设三角形悬臂梁的长为l ，高为h ，则l h=αtan 。