▪ 最大动能等于最大位能：
Tmax Vmax
1 2
ky02
1 2
my02 2
2 k
m
▪ 这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形 能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。
▪ 例子：简支梁，认为是无限自由度
y(x,t) (x)sint
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
0
能量守恒： Tmax Vmax
L
L
2 g Z
m( x) ( x)dx
L
0
m( x) ( x)2
dx
g
0
0 m(x)vd (x)dx
L 0
m(
x)
vd
(
x)2
dx
例
W
m EI
▪ 假定变形曲线
L/2
L/2
PL3 3 x 2 L x 3
v(x) 3EI
2 L3
Z0 ( x)
3x2L x3 Z0 2L3
2
120EI m L4
2
4 EI
m L4
97.41EI m L4
▪ 原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意 选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。
▪ 但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡 就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体 系变得刚硬，从而使计算频率增大。
m(x) h0 x
I (x) 1 ( h0 x )3 12 l
h(x) x
h0
l
l
设形状函数为
X1(x)
a(1
x )2 l
X1(l) 0, X1(l) 0
满足位移边界条件。
12
l 0
EI[ X1(x)]2 dx
l 0
mX
2 1
(
x)dx
5Eh02
2l4
1
1.581h0 l2
E
精确解为
33 140
mL 2
Z02 2
25 256
W 2g
2
Z
2 0
33 140
25 256
W mLg
mL 2
2
Z02
Vmax
1 2
pZ0
3EI L3
Z02
▪ 计算频率:
2
3
33 25
W
EI m L4
140 256 m Lg
例：试用瑞利法求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。
解： h(x) h0 x / l
1
1.534h0 l2
E
例：试求图示对称刚架的基本频率。
解：
y1 ( x)
P 156EI
x2 (21l
13x)
2Pl3 39EI
y2 (x)
P 104EI
x(x2
3xl
2l 2 )
P
1.5m 4EI m EI
2l
y2 x x
U max
1 P 2
P 2l 3 39EI
3 Pl 13
柱的最大动能
0
▪ 由Rayleigh法：
L
2
EI (x) "(x) dx
2 0 L
2
0 m(x)(x) dx
→ k* → m*
k* m*
此即为瑞利商
振动形状的选取
例子：简支梁，认为是无限自由度
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
假定振型为抛物线：
(x)
x L
1
x L
Vmax
1 2
L EI (x)[ "(x)]2 dx
ml EI
y1
3 Pl 13
T1max
2 12
2
l 0
m
y12
(
x)dx
7 Pl 26
7 Pl 26
m2
l 0
P2 (156EI )2
x4 (21l 13x)2 dx
0.0008772
m P 2l 7 ( EI )2
2Pl3
39EI
y2 (x)
x
P Z0
▪ 最大位能 ▪ 最大动能
Vmax
1 2
pZ0
3EI L3
Z
2 0
TmBax
1 2
L
2
m( x)v( x) dx
0
m 2
Z02 2
L[ ( x)]2 dx
0
33 140
mL 2
Z 02
2
Finish?
TW max
W 2[v(L / 2)]2
2g
25 256
W 2g
2
Z
2 0
Tmax
▪ Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近 似值！
Question: 如何确定合理的挠曲形状？
Solution:
▪ 自由振动的位移是由惯性力作用引起的； ▪ 惯性力正比于质量×加速度（质量分布及位移幅值） ▪ 因此：正确的振动形式为正比于m(x)的荷载所引起的挠
曲线。
▪ 再近似： 假定惯性荷载为梁的重量，即 p( x) m( x)g
L
2
120EI m L4
"( x)
2
L2
sin
x
L
1
Vmax 2
L 0
EI
(
x)[
"(
x)]2
dx
1 2
4EI
2L3
Tmax
1 2
Z
2 2
00
L 0
m( x)[
( x)]2 dx
1 2
Z
2 2
00
mL 2
能量守恒：
Vmax Tmax
2
4 EI
m L4
97.41EI m L4
假定振型为抛物线： 假定振型为正弦曲线：
▪ 频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。 ▪ 此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。
注意： (x) vd (x) / Z0
最大变形能：
Vmax
1 2
L 0
p(x)vd
(x)dx
1 2
gZ0
L
m( x) ( x)dx
0
最大动能：
Tmax
1 2
Z02 2
L
2
m(x)(x) dx
▪ 体系变形能：
V 1
L
EI (x)
2 y / x2
2
dx
20
▪ 最大值：
Vmax
1 2
L
EI (x)
0
2(x) / x2
2
dx
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
▪ 体系动能：
T 1
L
m(x)
2 y / t2
2
dx
20
▪ 最大值：
Tmax
12
2
L
2
m(x)(x) dx
V
1 2
ky2
1 2
ky02
sin2
t
质量块动能：
T
1 2
my&2
1 2
my02 2
cos2
t
y (t ) m
Vmax
1 2
ky02
Tmax
1 2
my02 2
Vmax
1 2
ky02
Tmax
1 2
my02 2
▪ Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没 有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该 保持常量。
0
Tmax
1 2
02
L m(x)[(x)]2 dx
0
"(
x)
2 L2
1 4EI 2 L3
1 2
02
mL 30
Vmax
1 2
L EI (x)[ "(x)]2 dx 1 4EI
0
2 L3
Tmax
1 2
02
L 0
m(
x)[
(
x)]2
dx
1 2
02
mL ax
假定振型为正弦曲线： (x) sin x
第四章 实用计算方法
1
第四章实用计算方法
§4.1能量法求自振频率 §4.2矩阵特征值问题及解法 §4.3结构动力响应的数值解法
2
§ 4.1 能量法求自振频率
一、瑞利能量法
c
自振频率：
k* m*
k
自由振动位移： 自由振动速度： 弹簧变形能：
y(t) y0 sin t y&(t) y0 cost