2019年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）在﹣1，0，1，﹣四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．1D．﹣2．（3分）据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（）A．0.12926×108B．1.2926×106C．12.926×105D．1.2926×1073．（3分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式2x＜10的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化是（）A．方差B．平均数C．中位数D．众数6．（3分）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．（3分）已知，如图将圆心角为120°，半径为9cm的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（）A．3B．6C．6D．68．（3分）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（）A．50°B．45°C．35°D．30°9．（3分）甲、乙两运动员在长为400m的环形跑道上进行匀速跑训练，两人同时从起点出发，同向而行，若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后500s内，两人相遇的次数为（）A．0B．1C．2D．310．（3分）一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形，且只有标号为①的小平行四边形为菱形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，则n的最小值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空（本题有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）分解因式：x2﹣9＝．12．（4分）60°的圆心角所对的弧长为2πcm，则此弧所在圆的半径为．13．（4分）如图L4，L5被一组平行线L1，L2，L3所截，显然三条平行线不是等距的，若＝，则为．14．（4分）一天，小明放学骑车从学校出发路过新华书店买了一本课外书再骑车回家，他所行驶的路程s与时间t的关系如图，则经18分钟后，小明离家还有千米．15．（4分）如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，点C在x轴上，且满足AO＝AC，则△ABC的面积为．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点M、N分别在AC、AB 两边上，将△AMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM 是直角三角形时，则tan∠AMN的值为．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|﹣（π﹣1）018．（6分）对于方程＝1，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝1 ①去括号，得3x﹣2x﹣2＝1 ②合并同类项，得x﹣2＝1 ③解得x＝3 ④∴原方程的解为x＝3 ⑤（1）上述解答过程中的错误步骤有（填序号）；（2）请写出正确的解答过程．19．（6分）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请按要求完成下列作图，仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．（1）在图1中，画出一个与△ABC面积相等的且与△ABC有公共边的格点三角形；（2）在图2中，画出直线CE，使得CE⊥AB，其中E是格点．20．（8分）随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见．如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠BOD＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠BOE＝60°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm，求当遮阳伞撑开至OE位置时，伞下半径EC的长．（结果精确到0.1cm，参考值≈1.414，≈1.732，≈2.449）．21．（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m＝，n＝；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．22．（10分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，C为⊙O上的点，∠ABC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长ED交BA延长线于点F．（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若＝，求图中阴影部分的面积．23．（10分）定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．概念理解：（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M从点D出发，沿射线DC以每秒1个单位长度向右运动，同时点N以相同的速度从A点出发，沿射线AD运动．连结AM、BN，交于点E．点F为射线CB上的点，且∠MAF＝45°，直线AF与直线BN相交于点P．设运动时间为t．（1）当0≤t≤4时，求证：AM⊥BN；（2）当t＝3时，求MF的长；（3）当t为何值时，S△PBF ：S△ABF＝1：5．2019年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）在﹣1，0，1，﹣四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．1D．﹣【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵1＞0＞﹣＞﹣1，∴在﹣1，0，1，﹣四个数中，最大的数是1．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（3分）据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（）A．0.12926×108B．1.2926×106C．12.926×105D．1.2926×107【分析】根据科学记数法的一般方法解答．【解答】解：12926000＝1.2926×107，故选：D．【点评】本题考查的是科学记数法﹣表示较大的数，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．3．（3分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．【分析】先分析出四种几何体的主视图的形状，即可得出主视图为圆的几何体．【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故A错误；B、圆锥的主视图是三角形，故B错误；C、球的主视图是圆，故C正确；D、正方体的主视图是正方形，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．4．（3分）不等式2x＜10的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：不等式的两边同时除以2得，x＜5，在数轴上表示为：故选：D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．5．（3分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化是（）A．方差B．平均数C．中位数D．众数【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：原数据的1、3、3、5的平均数为＝3，中位数为＝3，众数为3，方差为×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×2+（5﹣3）2]＝2；新数据1、3、3、3、5的平均数为＝3，中位数为3，众数为3，方差为×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×3+（5﹣3）2]＝1.6；∴添加一个数据3，方差发生变化，故选：A．【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．6．（3分）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【解答】解：连接AB，根据题意得：OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．故选：B．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．7．（3分）已知，如图将圆心角为120°，半径为9cm的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（）A．3B．6C．6D．6【分析】根据扇形弧长公式求出弧长，根据圆的周长公式计算即可．【解答】解：扇形的弧长＝＝6π，则圆锥的底面半径＝6π÷2π＝3（cm）故选：A．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（3分）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（）A．50°B．45°C．35°D．30°【分析】根据∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC，只要求出∠DAC，∠BAC即可．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝20°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADC＝∠B＝70°，∴∠DAC＝∠DCA＝55°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（3分）甲、乙两运动员在长为400m的环形跑道上进行匀速跑训练，两人同时从起点出发，同向而行，若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后500s内，两人相遇的次数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】可设甲、乙同向而跑，经过xs时间甲乙能相遇，根据速度差×时间＝路程差，列出方程求解即可．【解答】解：设甲、乙同向而跑，经过xs时间甲乙能相遇，依题意有：（5﹣4）x＝400，解得x＝400．由于1＜＝＜2．所以两人相遇的次数为1．故选：B．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．10．（3分）一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形，且只有标号为①的小平行四边形为菱形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，则n的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】如图，设菱形①的边长为a，平行四边形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．由题意易知大平行四边形的周长＝a+b+c，由此即可判断．【解答】解：如图，设菱形①的边长为a，平行四边形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．由题意易知大平行四边形的周长＝a+b+c，∴知道九个小平行四边形中小平行四边形①②③的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，∴n的最小值为3．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空（本题有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．12．（4分）60°的圆心角所对的弧长为2πcm，则此弧所在圆的半径为6cm．【分析】根据弧长公式求解即可．【解答】解：∵l＝，∴r＝═＝6cm，故答案为6cm．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．13．（4分）如图L4，L5被一组平行线L1，L2，L3所截，显然三条平行线不是等距的，若＝，则为．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵L1∥L2∥L3，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．14．（4分）一天，小明放学骑车从学校出发路过新华书店买了一本课外书再骑车回家，他所行驶的路程s与时间t的关系如图，则经18分钟后，小明离家还有0.6千米．【分析】根据待定系数法确定函数关系式，进而解答即可．【解答】解：设当15≤t≤20时，s关于t的函数关系式为s＝kt+b，把（15，2）（20，3.5）代入s＝kt+b，可得：，解得：，所以当15≤t≤20时，s关于t的函数关系式为s＝0.3t﹣2.5，把t＝18代入s＝0.3t﹣2.5中，可得：s＝2.9，3.5﹣2.9＝0.6，答：当t＝18时，小明离家路程还有0.6千米．故答案为：0.6．【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，行程问题的数量关系速度＝路程÷时间的运用，解答时理解清楚函数图象的数据的含义是关键．15．（4分）如图，点A 在反比例函数y ＝的图象上，点B 在反比例函数y ＝的图象上，点C 在x 轴上，且满足AO ＝AC ，则△ABC 的面积为 12 ．【分析】根据题意可以分别设点A 、点B 的坐标，根据点O 、A 、B 在同一条直线上可以得到A 、B 的坐标之间的关系，由AO ＝AC 可知点C 的横坐标是点A 横坐标的两倍，从而可以得到△ABC 的面积【解答】解：设点A 的坐标为（a ，），点B 的坐标为（b ，）∵点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC∴点C 的坐标为（2a ，0）设直线OA 的解析式为y ＝kx ，则＝ka ，∴k ＝，∴直线OA 的解析式为：y ＝x ， 又∵点B 在直线OA 上，∴＝•b ，∴＝9，∴＝3（负值不合题意，舍去）∴S △ABC ＝S △AOC ﹣S △OBC ＝•2a •﹣•2a •＝18﹣6＝12故答案为：12【点评】此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．通过一次函数，三角形面积的计算，突出考查的目的．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点M、N分别在AC、AB 两边上，将△AMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM 是直角三角形时，则tan∠AMN的值为1或2．【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别求解即可．【解答】解：分两种情况：①如图1中，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，作NH⊥AM于H．易证四边形AMDN是菱形，设AN＝AM＝a，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，由△AHN∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝，∴AH ＝a ，NH ＝a ，∴MH ＝a ﹣a ＝a ，∴tan ∠AMN ＝＝2，②如图2中，当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，此时∠AMN ＝45°，∴tan ∠AMN ＝1，综上所述，满足条件的tan ∠AMN 的值为1或2．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|﹣（π﹣1）0【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣|﹣3|﹣（π﹣1）0＝2﹣3﹣1＝﹣2【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6分）对于方程＝1，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝1 ①去括号，得3x﹣2x﹣2＝1 ②合并同类项，得x﹣2＝1 ③解得x＝3 ④∴原方程的解为x＝3 ⑤（1）上述解答过程中的错误步骤有①②（填序号）；（2）请写出正确的解答过程．【分析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；（2）注重改正错误，按以上步骤进行即可．【解答】解：（1）方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝6 ①去括号，得3x﹣2x+2＝6 ②∴错误步骤在第①②步．（2）方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝6去括号，得3x﹣2x+2＝6合并同类项，得x+2＝6解得x＝4∴原方程的解为x＝4【点评】本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因．19．（6分）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请按要求完成下列作图，仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．（1）在图1中，画出一个与△ABC面积相等的且与△ABC有公共边的格点三角形；（2）在图2中，画出直线CE，使得CE⊥AB，其中E是格点．【分析】（1）根据要求画出△BCD即为所求．（2）取格点E，作直线EC即可．【解答】解：（1）△BCD即为所求．（2）取格点E，作直线EC即可．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20．（8分）随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见．如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠BOD＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠BOE＝60°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm，求当遮阳伞撑开至OE位置时，伞下半径EC的长．（结果精确到0.1cm，参考值≈1.414，≈1.732，≈2.449）．【分析】根据题意可得OE＝OD，由三角函数得出OC＝OE，OB＝，再利用BC＝OB﹣OC解答即可．【解答】解：由题意可得：OE＝OD，在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，∴OC＝OE，在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，∴OB＝，∵BC＝OB﹣OC，即，解得：OE＝，∴EC＝≈30×2.449+30×1.732≈125.4cm．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键是由三角函数得出OC＝OE，OB＝．21．（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m＝100，n＝35；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，∴支付宝的人数所占百分比n%＝×100%＝35%，即n＝35，故答案为：100、35；（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800人；（4）列表如下：共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上的点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ． （1）试判断EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD ，由BD 平分∠ABC ，得∠OBD ＝∠EBD ，又OB ＝OC ，∠OBD ＝∠ODB ，所以∠ODB ＝∠EBD ，再由∠EBD +∠EDB ＝90°，得到∠ODB +∠EDB ＝90°，即∠ODE ＝90°，OD ⊥EF ，因此EF 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，设FA ＝x ，则DF ＝，由勾股定理求出x ＝2，于是AF ＝2，DF ＝，∠F ＝30°，∠DOF ＝60°，∠EBA ＝60°，∠DOB ＝120°，∠COB ＝60°，∠DOC ＝60°，所以S 阴＝S 扇形ODB ﹣S △ODB ﹣（S 扇形OCB ﹣S △OCB ）＝S 扇形ODC ＝．【解答】解：（1）EF 与⊙O 的位置关系：相切，理由如下： 连接OD ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD ＝∠EBD ，∵OB ＝OC ， ∴∠OBD ＝∠ODB ， ∠ODB ＝∠EBD ， ∵DE ⊥BC ，∴∠EBD +∠EDB ＝90°， ∴∠ODB +∠EDB ＝90°， 即∠ODE ＝90°，OD ⊥EF ， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，设FA ＝x ，则DF ＝，∵AB ＝4， ∴OA ＝OB ＝2， ∵OD 2+DF 2＝OF 2，∴22+（）2＝（2+x ）2，解得x ＝2，∴AF ＝2，DF ＝，∠F ＝30°，∠DOF ＝60°，∠EBA ＝60°，∠DOB ＝120°， ∵OC ＝OB ，∴△OCB 为等边三角形，∠COB ＝60°，∠DOC ＝60° ∴S 阴＝S 扇形ODB ﹣S △ODB ﹣（S 扇形OCB ﹣S △OCB ） ＝S 扇形ODB ﹣S △ODB ﹣S 扇形OCB +S △OCB ＝S 扇形ODC＝＝．【点评】本题是圆综合题，熟练掌握切线的判定与特殊直角三角形的性质是解题的关键． 23．（10分）定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．概念理解：（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形．（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．（3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加6，其规律为当翻滚次数n能被3整除时，横坐标为：+n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此时点P坐标．【解答】解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点∴AD＝BD＝CD＝BC∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点∴AD＝AC∴AD＝AC＝CD∴△ACD是等边三角形∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边∴F（3，0）∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G∴△EFG是等边三角形∴x G＝，|y G|＝①当G（2，）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+把点E（1，0）代入得：a+＝0∴a＝﹣∴y＝﹣（x﹣2）2+②当G（2，﹣）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣把点E（1，0）代入得：a﹣＝0∴a＝∴y＝（x﹣2）2﹣综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣（3）∵抛物线y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣）2+3∴P（，3），M（0，0），N（2，0）∴PM＝MN＝PN＝2∴△PMN是等边三角形∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（7，3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为：+n×2＝（2n+1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．【点评】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M从点D出发，沿射线DC以每秒1个单位长度向右运动，同时点N以相同的速度从A点出发，沿射线AD运动．连结AM、BN，交于点E．点F为射线CB上的点，且∠MAF＝45°，直线AF与直线BN相交于点P．设运动时间为t．（1）当0≤t≤4时，求证：AM⊥BN；（2）当t＝3时，求MF的长；（3）当t为何值时，S△PBF ：S△ABF＝1：5．【分析】（1）证明△ADM与△BAN即可；（2）当t＝3时，AN＝DM＝3，如图1，连接AC，作FH⊥AC于点H，设CF＝x，根据∠MAF＝45°，∠DAC＝45°，得到∠DAM＝∠HAF，tan∠HAF＝tan∠DAM，列出方程求解即可；（3）分两种情况讨论，①当0≤t≤4时，即点M、N分别在线段CD与线段AD上运动时，当t＞4时，即点M、N分别在线段CD延长线与线段AD延长线上运动时．【解答】解：（1）当0≤t≤4时，点M、N分别在线段CD与线段AD上运动，在△ADM与△BAN中，∴△ADM与△BAN（SAS），∴∠DAM＝∠ABN，∵∠ABN+ANB＝90°，∴∠DAM+∠ANB＝90°，∴∠NEA＝90°，即AM⊥BN；（2）当t＝3时，AN＝DM＝3，如图1，连接AC，作FH⊥AC于点H，设CF＝x，则CH＝FH＝，AH＝，∵∠MAF＝45°，∠DAC＝45°，∴∠DAM＝∠HAF，∴tan∠HAF＝tan∠DAM，，即，解得x＝，CF＝∴MF2＝CM2+CF2＝12+（）2＝，MF＝；（3）①当0≤t≤4时，即点M、N分别在线段CD与线段AD上运动时，如图1，连接AC，作FH⊥AC于点H．∵S△PBF ：S△ABF＝1：5，∴PF：AP＝1：4，∴，∴BF＝t，CF＝4﹣，HC＝HF＝＝＝2﹣，AH＝AC﹣CH＝﹣（2﹣）＝2+，∵∠MAF＝45°，∠DAC＝45°，∴∠DAM＝∠HAF，∴tan∠HAF＝tan∠DAM，，化简，得，t2+20t﹣64＝0，解得t＝﹣10+2，或t＝﹣10﹣2（舍去）②当t＞4时，即点M、N分别在线段CD延长线与线段AD延长线上运动时，如图2，设AM与BC交于点K，连接C，作FH⊥AC于点H，作PQ⊥CB的延长线于点Q．DN＝CM＝t﹣4，∵AB∥CD，∴，，CK＝，∴HC＝HK＝＝，AH＝AC﹣CH＝＝∵S△PBF ：S△ABF＝1：5，∴，PQ＝，易证△CKM∽△QPB∴，，QB＝，∵，∴，∴BF＝，同理tan∠HAK＝tan∠BAF，，化简，得 t 2﹣20t +96＝0， 解得 t ＝12或t ＝8综上，当t 的值为﹣10+2或12或8时，S △PBF ：S △ABF ＝1：5．【点评】本题是相似三角形综合题，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．。