习题解答1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX (-1)x(-1)+ 1X1X8-1x(-4)x(-1)-2X (-1)X8-OX1X3 = -4；(2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a 3 - b'=3abc — a 3 ——c 3 ;(3) 原式=1•&•c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2-l*c ,62-l*a*c 2=be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba' — cb 2 ~ ac 2= c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z )-c)(c-a);(4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + («r + y)yx - (x + yV - d -=-2(x 3+y ).2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1) 1 2 3 4；(2) 4 1 32；⑶34 2 1;(4) 2 4 1 3;⑸1 3 …(2n - -1) 2 4 …(: 加)；(6) 1 3 …(2n - •1) (In) (2n - 2) … 2.解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“・1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;…；末位元素2n 的逆序数为0.故此排列的逆序数2 0 1仃) 1 -4 -1-18311 1⑶a b c a 2 b 2 c 2• t为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)； 4(6)与(5)相仿，此排列的前n + 1位元素没有逆序对；第”+2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第M + 3位元素2n - 4与它前面的2n - 3,2n - 1,2”， 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;…；末位元素2的逆序数为2(” - 1),故此 排列的逆序数为 2 + 4 + •••+2(M -1) = »(M -1).3. 写出四阶行列式中含有因子a N a 23的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素, 而它们又分别位于第2列和第4列，即％和5或％和S2 •注意到排列1324解仃)12 0 21 2 0 2 尸严「24 12 40-72-410 5 2 0O-lOr,0 -15 2 -200 11711.71 2 0 2 • 1 1 2 0 2 0 1 1 7° 1 1. 7 0 -15 2 -20口 +7巾0 0 1785 0-7 2 -4 -:0 0945=0 (因第3、4行成比例);仃) 与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有a u a 23的项为- aII a 23a 32a 44 与 G"a23a U°42 •4.-叽bd bf ac - cdcfae de ef-10- .01 b -10 -1为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)；41 2 2 22 5 1 5 =0 (因有两行相同);r. + ari ⑷D^=ri -rd (3) D == adfrj «abcdef-1-11 + abb-12.91 + a -1 c0 --Id ad1 + cd 0=(1 + a6)(l + cd) + ad ・5.求解下列方程：互不相等. 按心展开(-1)(-l)5工+1 2 -12 x +1 1 =0；⑵解⑴左式=^吊=“)1 2 -1C2一C| =(文 + 3) = (x + 3)12-1j -12x - I21x +1x + 111bb21 + ab-10~ldad1 +cd=(x + 3)(x2 -3)>于是方程的解为：Z| = -3,X2 =73, = -/3；(2)注意到方程左式为4阶范徳蒙徳行列式，由例12的结果得 (x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a - c)(6 - c) =0.因a 、b 、c 互不相等，故方程的解为：4 = Q 、工讦b6•证明:=(a -b) (a -c) (a -d)(b-c)(b-d)(c~d)(a + b + c^d)iax + by ay + bz az + bxx y z (2) ay + bz az + bx ax + by=(a 3 + 63)y z x az + bx ax + by ay + bzz x ya 2 (a + I)' (a + 2)2( a+ 3)2⑶=0;(b + 2)2 (c + 2)2 (£ +2)2b 2(6 + 3)2 (c + 3)23 + 3)2证(1)左式a 2 •"b 2 ab _ b" b 2・■(a •* b)2 ab - b 2 b 22(a - 6) a - b 2bf\ 小一A O U a n Lo 0 0 10 0 1-1 =+ fl.-jTax ay 十 bz az 十 bxby ay 十 bz az 十 bx左式=az " bjc ax + bybza& 亠 bjcajc + by=(a - bY =右式; (2)将左式按第1列拆开得=aDj + bD 2 ■ a2a 1aha +b 12b1(a - b)3 i1 a1 b1c I d(4)a 2b 2 2 C d 24a b 44c(6 + 1)2 (C+1)2(d + l)22a + 1= (〃一a)(c-4)(/-a)工y其中：工=c 2(c + a)-(6c)(6 + a) = c(c 2+ac-62-aA) = c(a + 6 + c)(c-6); y = d'(d 十Q )- bd(b + a) = d(a + b 十 d)(d 一 b).其中 0 =yay + bz az + bxy zaz + bxC2 -呵z az •卜 bx ax + by === b X ax + bybX ax + byay + bz工yay + bzDyy兀 yC 一"2 CJ-T&a 22a + 1 2a+3 2a +5 b 226 + 126+3 26 + 5 c 2 2c + 1 2c + 3 2c + 5 d 2 2d + 1 2d+ 32d+ 5(3)左式C\ - C2于是D = aD, +心=(/ +沪)二右式.26 + 1 2c + 1=0 （因有两列相同）;(4)左式二r - g尸 2- a/|d 2 10 B 0b ab(b — a) b 2(b 2 ~ a 2) c 2(c 2— a 2)1b(c 一 a ) d(d — a ) d z (d l - a 2) 1各列珮公因子g ）g ）（Dri — 6(6 + a)ri-.--—n-.( b ・a)(c-a)Q-a)62(6 + a)c 2(c + a)J 2(J + a)1 1 1 0 c - b d - b 0 x y_ 1-11 1c(a + 6 + c) d(a + b 十 d)= (c — b)(d-b)[d(a + b + d)-e (4 + b + c)] = (c-6)(^-6)[(J-c)(a + 6) + ^2-c 2] = (c-6)(d-b)(〃・c)(a + b + c 十 d),因此，左式=(b-a)(e-a)(d-a)(c-b)(d-6)(/-e)(a + b + c + 〃):=右式. (5)证一 递推法•按第1列展开，以建立递推公式，-1 x -1D wf , = xD n + ( - l)wf2a 0=+ ( - l)2"*2a 0 = zD. + a Q . 又，归纳基础为:D|=a.(注意不是工)，于是D^g =+ a 0 =x(xD n .| + fi|) + a 0=X 2D H .| + «|X + a 0=x M D } + a R . | x w " + ••• + fl| x + a 0 =a 0 + a, x + a 2x证二 按最后一行展开得= (c-b)(d-b)+ …+ a^x •=士 (- 1)5—匕+j・o== a0 + flj x + a2x2 + …+ a n^x x a^x + a n x n.7•设"阶石列式D二det(勺)，把D上下翻转、或逆时针旋转90•、或依副对角线翻转，依次得・J (5)5 ...％% (5)••••••，。

• • •••••4 =••••••«11 …4“… J J …«||证明D, = D, = (-l)d2：r22D,D3 = D.证(1)先计算D“为此通过交换行将D,变换成D,从而找出0与D 的关系.D,的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1 行,共进行« - 1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行W-2次交换;……，直至最后一行是D的第n-1 行,再通过一次交换将它换到第H- 1行，这样就把D,变换成D,共进行(n-l) + (n-2) + - + l=y W(n-l)次交换，故D产注1*上述交换行列式的行(列)的方法，在解题时，经常用到.它的待点是在把最后一行换到某一行的同时，保持其余"-1个行之间原有的先后次序(但行的序号可能改变).2・同理把D左右翻转所得行列式为(-i)b(--'>D.(2)计算D2.注意到D2的第1,2,…，”行恰好依次是D的第”，”-1,…， 1列,故若把D2上下翻转得庁2,则D2的第1,2,-,n行依次是D的第1, 2.-.«列，即D2 =D T.于是由(1)D2 = ( - 1)卜u =(3)计算D).注意到若把D3逆时针旋转90•得戸),则Dy的第1,2,…，” 列恰好是D的第歹9,于是再把D｝左右翻转就得到D.由(1)之注及⑵，有D3 = (-l)^("-,)D3= D.注本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转180>所得行列式不变;作上下翻转佐右翻转、逆(顺)时针旋转90°所得行列式为8•计算下列各行列式(D*为&阶行列式)：a 1(1) D n=•・. ，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;1 a⑵D w =■ • a •• • • t a••• x a' (a - 1)-… (a-n)・・・・(a - n)"'1(3) D.■厂 =• • • • •• ■ • ■a a - 1… a - M1 1… 1 提示：利用范總蒙徳行列式的结果・ ■其中未写出的元素都是0；(5) D. =det(a 4>),其中 a h = \i-jl;1 +«! 1 ••• 1 1 + a2 … (1)解一11••• 1 + a w把D“按第一行展开得0 a 0= a w + (-l)wM解二a 01a 1 11.aOf••a••••Q0 a 0a(2)本题中臥是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列 式,在以后各章中有不少应用.■dy(a 2-l).按第一列 展开D* = (a.d. - b.c"・・・(ad ■ ba) =- g)・另一方面，归纳基础为D 2 =bya-ss 利用这些结果■递推得解 利用各列的元素之和相同，提取公因式.x + (n-l)a]= (x-a)w 'l [x + (n-l)a].(3)解 把所给行列式上下翻转，即为范德蒙徳行列式，若再将它左右翻 转•由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等•故行列式经上下翻转再左右翻 转(相当于转180・,参看题7)其值不变.于是按范徳蒙德行列式的结果，可得1n (D !＜/＜；＜ ・“(4) 解 本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.由例10 , 上 f 5 ”(4■血—b 第C J©2(H-1)V即有递推公式D 2a = (aA - 6工」Dgt).+ (并一 l)a x + (n- l)a… x + (n — l)a(a - nVn + l)w •(6)解将原行列式化为上三角形行列式•为此，从第2行起，各行均减去第1行，得与例1・3相仿的行列式其中6 = 1 + a. + 右i（l +拿£）.于是D—“（1 + 命廿.1 -1 2：? [ .D的（i.j）元的代数余子式记作A,求0 1 - 1-5 3 -3A si + 3A、2 一2 A JJ +2A U・解与例13相仿+3A32-2A A+2A“等于用1,3,-2,2替换D的第3行对应元素所得行列式•即3-52（5）解1 -1 0 0 °2 =10. (1)1 411 -1 3 :J1 1 -3 -2 23 i-5 3 -31 - •5 3 1 -1 1152 2 0113-2 0按展开 1• •113 0Aj| +3Au -2A R +2A54-1 3 -2 3-1 3 _510 = 24. 用克拉默法则解下列方程组： X| + + x 3 + x 4 =5;X| + 2X 2 - x 3 + 4X 4 = -2; V —2 4 -4-1 4-1 -2 3=1> =0, + 6X 4 =0f+孔 + 2 J *J + 11= 0 ；巧+ 5x 1 1 1I 1 i 1 1 12 一1 41-2 3 2 -3 -1 _50 _5 -3 _7 3 1 211 宀1-2-18⑵彳D = 1 2xj -3=2 - " 5X 4 = -2» 1 0 0 01-2 -13 _5 -13 一5 14 =_ 142;5-2 1 2 1 -1c “1 3 13 1 0 1 5 -2 _3 _ 1 -5 3 -2 0 _4 01211-10 -1914 0按门风开3 3 5-27 0 32 3-2-4230 -22 n -2r 3• •-10 -1 9-10_1 9=一142；-27 23 32-2215 1115 11 1-2-14-7 -2 3 2 -2 -1 -5-12 -3 -7 3 02112-15-18°3 =_7 -2=-12 -3-15 -1按巾展开23332333-150 -130 -31-1 8115 1 115 112-24 0 1-732 -3 -2 -5 rj_2r'0 -5 -12 -73 1 0 11 0 一2 - 15 811 1 ■一47 80 1 -29 14=一426;0 -29 141 152 —1 ■23 ••1-2 rj_1 2 01 1 1 50 1 -2 70 0 •13-470 0 -5 -291 11381235-7-47卩+ 5心r+ 2“1*5_21-2_3-13 -47-5 -29由克拉默法则•得4三労=1,5 1 656(2) D =0 1 50 0 1 0655-7-12-15142.= ^ = 2,x3 = ^ = 3,x4 = ^= -1;=5于是 D = 325-114 = 211；= 65; (*)6 0 01 5 6 =114,0 1 56 0 5 6 1 55 0 0 16 0 0 5 6^^65-216 — 1;D 2 ==-19 + 180=161；由克拉默法则，得工=21—151- _D 2^ 16111.问4尸取何值时，齐次线性方程组A J ：I + x 2 + =0>・X| +牛2十工］=0>工1 +2耳2十工3 =0有非零解?解 由定理5’•此时方程组的系数行列式必须为0.A 1 D= 1 JJL1 2“ 故只有当或入=1时，方程组才可能有非零解. •当原方程组成为J A J ：I + x 2 + =0> 1工1 +工 3=0> 显然X! =1,X 2 = 1-A t x 3= -1是它的一个非零解; 当A=L 原方程组成为X| +x 2 + x 3 = 0t ■ X ： + jtzx 2 + x 3 =0, X| +2牛2 + X 3 = 0,显然，4 = - l,x 2 =0,x 3 = 1是它的一个非零解. 因此，当“ =0或4 = 1时，方程组有非零解.按"展开D 3 =5 11 5 05 6 0按展开n （ AU 11 0 u0 0 50 1 6=5- 114 = 0 6 5 16 5 1 0 0 0 由（•）-109;10 0 1 115 65 6 0 0 1 5 + 1 5 6 0 0 10 1 5109 ~D = -2n*X2= o-=m^3="D = "2n*X4 = %=m-0 0 6 5 0 0 1 按“展开 1 0注定理5（或定理5‘）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列5 0 01 6 00 5 6式必为零•至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非 零解.下题也是同样情形. 12.问A 取何值时，齐次线性方程组 (1 — A )X| - 2X 2+ v2^| + (3 -入)比 + 4 +4x 3=0f x 3 =0, 工2+(1 一入)工］=01-A -2 4 ri^rj1 1 1-A2 3-A 1 ------ 2 3-A1111 - A1-A -241 0 0 11-A -3+A 有非零解？解 若方程组有非零解■由定理5：它的系数行列式D = 0.1-A 2—11 - A A-3 +A 4-(1-A)2 A — 3 3入—入1-A 2A-1 4-(1-A) 1-A1 故D = 0=>A = 0或入=2或A =3»并且不难验证: -A(A -3) =一入 Q-2)(入一 3). 当入=0 时,x t = -2,x 2 = l t x 3 = l ；当入=2 时.4= 一 2,工 2 = 3,6 = 1;当 23时严=-1,工2 =5,6=2均是该方程组的非容解•所以当入=0,2,3时 方程组有非零解. 习题解答1.计算下列乘积:3 -2 7 7 2 .1322 ；(3). 1.13,(2) (1.2,3) 1 -11 0 1 43 -3 01 2 1 -2⑸解3(2) (1,2,3)“ 2=(10)lxI =10；1 3«1J55工1(5) (X| > Xj ,Xj )jxj5工254 235 3xJa ll x I + al2x 2 + a IJ x 3=(X, 9X 2 > ^3 )|xj a \2x l + a 2Z x 2 + a 23x 3+ al3x 2 + a 33x 3 >3x1=fl II XJ +。