（3）单程衍射损耗 由近似解得出两种共焦腔的单程衍射损耗为零。要 具体求其单程衍射损耗，须采用精确解。圆形镜共焦 腔的单程衍射损耗比方形镜共焦腔大。
28
第三章
激光器的输出特性
（4）单程附加相移及谐振频率
方形镜共焦腔
ν mnq
圆形镜共焦腔
c 1 [q (m n 1)] 2L 2
νq
uq 再现出来，两者之间应有关系：
（3－3）
uq1 uq
8
第三章
激光器的输出特性
综合上两式可得：
uq ( x, y) ik 4 u( x, y) ik 4
uq ( x' , y' )
M'
e
ik

(1 cos )ds'
（3－4）
u( x' , y' )
2.当场振幅为轴上( x y 0)的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，所对 应的横向距离 z 即z 处截面内基模的有效截面半径为；
2 s 4 z (z) 1 2 s 1 2 L 2 2 2 2 ω s x s y s L
21
第三章
激光器的输出特性
(4)单程相移与谐振频率：
mn kL arg mn i[ kL ( m n 1) ] 2 mn e
ν mnq c 1 [q (m n 1)] 2L 2
mn (m n 1) 2 ν mnq
2. 纵模频率间隔
腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔
ν mnq
qc c mn 2L 2L
c ν q ν q 1 ν q 2L
（3－17）
15
第三章
激光器的输出特性
举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模） 举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）
值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。
10
第三章
激光器的输出特性
3. 积分方程解的物理意义
(1)本征函数 umn 和激光横模 本征函数 umn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则
代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的
横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。 图3-3为各种横模光斑。
图(3-4) 腔中允许的纵模数
16
本节重点：
理解自再现模概念


激光谐振腔的谐振频率及激光纵模
第三章
激光器的输出特性
§3.2
对称共焦腔内外的光场分布
18
第三章
激光器的输出特性
3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解 (1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原 点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方 程有 本征函数近似解析解
u ( P)
由下列积分式计算：
ik u ( P) 4


u' ( P)eik

(1 cos )ds'
（3－1）
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
式中 为源点 P '与观察点 P 之间的距离； 为源点P ' k 2 / 为光波矢的大 处的波面法线 n与 P ' P 的夹角； 小， 为光波长； ds ' 为源点 P '处的面元。

H2 ( X ) 4 X 2 2
H m ( X ) (1) m e X
2
d m X 2 e m dX 19
第三章
激光器的输出特性
X2 2
2. 镜面上自再现模场的特征 (1)振幅分布 Fm (X) H m (X)e
Fn (Y) H n (Y)e
Y 2 2
u mn Cmn Fm (X)Fn (Y)
qc c mn 2L 2L
νq c 2L νm νn νq 2
图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱
22
第三章
激光器的输出特性
3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布
1. 腔内的光场: 通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在
腔内造成的行波求得。
图3-3 横模光斑示意图
11
第三章
激光器的输出特性
(2)本征值
mn 和单程衍射损耗、单程相移
:自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。
mn
损耗 = 衍射损耗 + 几何损耗， 主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用
2 2
表示。定义为
uq uq1 2 2 （3－9） mn 1 mn uq uq1 uq 单程衍射损耗与横模序数有关
uq1( x, y)表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，
ik uq1 ( x, y) 4
u ( x', y' )
q M'
eik

(1 cos )ds'
（3－2）
考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位 移动的常数因子以外，uq 1 应能够将
2 2 x H n 1 2 w s
y
2 x2 y 2 exp 1 2 w2 exp i x, y, z s
L x2 y 2 ( x, y, z ) k (1 ) ( m n 1)( ) 2 1 L 2 2
2 2 I mn u 2 F ( X ) F mn m n (Y)
图(3-5) Fm ( X ) X及Fn (Y ) Y 的变化曲线及相应的光强分布
20
第三章
激光器的输出特性
激光模式的符号：TEMmnq，TEM00是基横模。 m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目， 而且m、n的数值越大，光场也越向外扩展。
26
第三章
激光器的输出特性
镜面上自再现模场的特征 （1）振幅分布
TEM00
TEM10
TEM20
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
TEM31
TEM01
TEM02
TEM03
方形镜共焦腔模的强度花样
圆形镜共焦腔模的强度花样
27
第三章
激光器的输出特性
（2）相位分布 共焦腔的反射镜面本身构成光场的一个等相位面。
31
第三章
激光器的输出特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
1. 基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：
2 x y U 00 exp 1 2 2 s
2
2 2
2

I 00 U 00
2
4 x2 y 2 exp 1 2 2 s
其中
（3－7）
ik ik ( x , y , x ', y ') i ik ( x , y , x ', y ') K ( x, y , x ' , y ' ) e e 2L L
----------积分方程的核。

和 mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征 umn
M'
e
ik

(1 cos )ds'
（3－5）
9
第三章
激光器的输出特性
对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于 现模所满足的积分方程：
反射镜的线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再
mn umn ( x, y ) K ( x, y, x' , y ' )uq ( x' , y ' )ds '
腔外的光场: 腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。 即行波函数乘以镜面的透射率 t 。
图3-7 计算腔内外光场分布的示意图
23
第三章
激光器的输出特性
2.如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：
2 2 umn x, y, z Cmn H m 1 2 w s
c
2L νm νn νq 2
νq
c
νmnq
1 [q (m 2n 1)] 2L 2
c
2L νm νq 2
νn νq
29
第三章
激光器的输出特性
（5）共焦腔内的行波场分布
方形镜共焦腔
圆形镜共焦腔
30
第三章
激光器的输出特性
§3.3
高斯光束的传输特性
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 M 和 M’ 上分别建立了坐 标轴两两相互平行的坐标 x-y 和 x’-y’ 。利用上式由镜面M’上的光场分 布可以计算出镜 M 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
7
第三章
激光器的输出特性
设 uq ( x' , y' ) 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布
12
第三章
激光器的输出特性
本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
u q1 u q
arg u q1 arg arg u q
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为