能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度。

本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。

比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。

了解内容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。

二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。

故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。

多体问题化为了多电子问题。

2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。

多电子问题化为单电子问题。

3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。

单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()nik R n r R e r ψψ⋅+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik r r e u r ψ⋅=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(r u k调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉维格子的所有格矢成立。

2）证明过程：a. 定义平移算符T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m mm m =b ． 证明T 与ˆH 的对易性。

ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与ˆH 共同本征态下的本征值 λ。

即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)()(()()()(332211a N r r a N r r a N r rψψψψψψ321321,,a k i a k i a k i ee e⋅⋅⋅===λλλd. 将λ代入T 的本征方程中，注意T 定义，可得布洛赫定理。

)()(321321r R r m m m m ψλλλψ=+)()(332211r ea m a m a m k i ψ++⋅=)()(r u e r k rk i⋅=！3） 波矢k 的取值及其物理意义333222111b N l b N l b N l k++= (2)2j j j N l N ≤<-，k 是第一布里渊区的波失，称简约波矢。

其是平移算符本征值量子数，而)()()(m m R r r R T +=ψψ)(r e m R k iψ⋅=反映了元胞之间电子波函数位相的变化。

同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。

3、 近自由电子近似1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰 2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。

3）模型建立过程：首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。

A 、非简并情况下1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：'0H H H +=，2202H V m=-∇+，微扰项：V V x V H ∆=-=)('，满足的方程式: ψψE H =.2)利用微扰论方法有设：.)2()1(0 +++=k k k k E E E E ，其中：V m k E k +=2220 ，0|'|)1(>==<k H k E k ，∑-><='0'02)2(|'|'k k k k E E k H k E （K K ≠'） 设：.)()()()1(0 ++=x x x k k k ψψψ 其中：ikx k e Lx 1)(0=ψ, 0'''0)1(|'|'k k k k k E E k H k ψψ∑-><= （K K ≠'） 4）结论：能量本征值：∑+-++=nn k an k k m V V m k E ])2([2'22222220π 波函数：xani nnikxikxk eank k m V eLeLx ππψ2222])2([211)(∑+-+=5）波函数的意义：第一项是波矢为k 的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令xani nnk e ank k m V x u ππ2222])2([21)(∑+-+= ，则有)(1)(x u e Lx k ikx k =ψ具有布洛赫函数形式，其中用到)()(x u ma x u k k =+B 、简并情况下1)n k k V E E >>-0'0此时波矢k 离an π-较远，k 状态的能量和状态k’差别较大得20'00'200'n k k k n k k k V E E E E V E E E ±⎧+⎪-⎪=⎨⎪-⎪-⎩ 由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了2）n k k V E E <<-0'0时，波矢k 非常接近an π-，k 状态的能量和k’能量差别很小得00200''()1{2}24k k k k n nE E E E E V V ±-=+±+ 代入相应的 0k E ，0'k E 得222(1)2(1)n n n n n n n n n n T V T V T V E T V T V T V ±⎧+++∆+⎪⎪=⎨⎪+--∆-⎪⎩ 22)(2an m T n π =可得如下结论两个相互影响的状态k 和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。

周期性 ()()n n n E k E k G =+ [周期为倒格矢，由晶格平移对称性决定] 反演对称性 ()()n n E k E k =-[()n E k 是个偶函数 ]宏观对称性 ()()n n E k E k α=[ α为晶体的一个点群对称操作]C 、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)它属于哪一个能带（能带标号）2)它的简约波矢 k 是什么？3) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲 2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 3) 禁带的宽度n g V V V V E 2,2,2,2321 =4）各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级5）计入自旋，每个能带中包含2N 个量子态 4、紧束缚近似1）紧束缚近似的假设：电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。

故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。

不考虑不同原子态间的作用。

它一般要求原子之间的距离较大。

2）模型实现对于简单格子电子在格矢332211a m a m a m R m++=处原子附近运动)(rψ满足的薛定谔方程：)()()](2[22r E r r U mψψ=+∇- )(r U是晶体的周期性势场___所有原子的势场之和。

对方程进行变换有)()()]()([)()](2[22r E r R r V r U r R r V m m m ψψψ=--+-+∇-)()(m R r V r U--即是微扰作用。

设晶体中电子的波函数∑-=mm i m R r a r )()(ϕψ（此法的本质），代入上得：∑∑-=---+mm i m mm i m i m R r a E R r R r V r U a )()()]()([ ϕϕε考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的)(m i R r-ϕ重叠很有 ，nm n i m ir d R r R r δϕϕ=--⎰)()(*用)(*n i R r-ϕ左乘上面方程5*，得到 ∑⎰-=----mni m i m n i m a E r d R r R r V r U R r a )()()]()()[(*εϕϕ)()()]()()][([*m n i m n iR R J d V U R R--=---⎰ξξϕξξξϕ则得∑-=--m n i m n m a E R R J a )()(ε，考虑到周期性的势场，应有mR k i m Cea ⋅=，（k 是任意常数矢量），则有∑⋅--=-sR k i s i s e R J E )(ε，m n s R R R -=利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数∑-=⋅mm i R k i k R r eNr m)(1)(ϕψ考虑用简约波失表示有])([1)()(∑-=-⋅-⋅mm i R r k i r k i k R r e e N r mϕψ，由此可得 对于确定k ，∑⋅--=sRk i s i s e R J k E )()(ε，而且实现了N 个晶体中的电子波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅)()()(,,,12121222121211121N ii i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i k k k R r R r R r e e ee e e e e e N NN N N NNNϕϕϕψψψ 3）模型简化：考虑ξξϕξξξϕ d V U R R J i s i s })()]()()[()(*⎰--=-的化简：当)()(*ξϕξϕi s iR 和-有重叠时，积分不为0。

a 最完全的重叠0=-=m n s R R R，得ξξξξϕd V U J i ⎰--=)]()([)(20b其次考虑近邻格点的格矢s R，得∑=⋅---=NearestR Rk i s i s s e R J J k E )()(0ε。

6*能带底部电子的有效质量212*2a J m =,能带顶部电子的有效质量212*2a J m -=. 4）能级与能带的对应A 计算简单立方晶格中由原子s 态形成的能带 s 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。