北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度 C ．线段PC 的长度 D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ． 5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B．30︒ 1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-C．25︒D．15︒6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=7.在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(min) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175由此所得的以下推断不正确．．．的是A．这组样本数据的平均数超过130B．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；+；③图1中线段EF应表示为5005x④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）-有意义，那么x的取值范围是．9.如果2x10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每A款B款款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为.13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．(3,0)A -(4,0)B D 'C'20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，C D ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，B E=C D ，连接CE ，D E ． （1）求证：四边形C DB E 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求D E 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G .（1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）.26. 抛物线M：241y ax ax a=-+-(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D.（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系. 3x 30x >2-1-28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是 .（2）点D在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L Q，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q≤满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≤2． 10.． 11. . 12.13.20.14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分312=--2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-移项，得 ．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分 系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分 19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………………………………2分 ∵ ，∴ ． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………… 5分20.解： ……………………………………… 3分 ．……………………………………………………4分 361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-图1当时，原式．…………………………………5分 21. （1）证明：如图2.∵ C D ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ C D ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ B E=C D ，∴ 四边形C DB E 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形C DB E 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形C DB E 为矩形，∴ D E=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，C D ⊥AB ， 可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ D E=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠图2………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ， ∴ B ，D 两点的坐标分别为，． ∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分 ∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ．…………………………………………………………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为．① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥．(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABD S AB BD n n =⨯=⨯-⨯=-V 48n -=2n =-my x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 图3∴ △CD ∽△O ．∴． ∵ ，∴． ∴ ．∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，． ∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，1E 1E 1F 1111E CDC OF E F =112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+2E 2F 2OF 2222E CDC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -图4图5∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC . ∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒． ∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ． ∴ ． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设C E = a ，则D E = a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC =∠D = 60︒．11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6由（1）得∠DCG = 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=． ∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF = 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分④111)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得. 解得 . ………………………………………………………………… 3分 2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-图7∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点， 由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．图8∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分 ②．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α． ∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ． ∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ． ∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L．……………………………………………………………… 2分CE AC +=AC CE -=3-图10图11 图12（2）设直线+3y=与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得A，(0,3)B．∴OA=3OB=，30OAB∠=︒．由0≤QLy=．①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心1D满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x⊥轴于点1E，可得11D E∥OB，111D E AEBO AO=．∵⊙D的半径为1，∴111D E=．∴1AE=11OE OA AE=-=．∴1Dx=②如图14，当⊙D与直线y=相切时，相应的圆心2D满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x⊥轴于点2E，则22D E⊥OA．设直线y=与直线+3y=的交点为F．图13可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴ 2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分图15。