（1）求证： ；
（2）如果正方形 的边长为 ，那么正方形 绕 点转动的过程中，与正方形 重叠部分的面积始终等于__________.（用含 的代数式表示）
25.（1）探究新知：如图1，已知 与 的面积相等，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）结论应用：
①如图2，点 ， 在反比例函数 的图像上，过点 作 轴，过点 作 轴，垂足分别为 ， ，连接 .试证明： .
C.500名学生身高情况是总体的一个样本D.样本容量为10000
5.某校开展捐书活动，八（1）班40名同学积极参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）
A 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
6.已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（）
故选B．
【点睛】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率= .
6.已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k-1小于零列不等式求解即可.
【详解】由题意得
k-1<0，
∴ .
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.
【点睛】本题考查本题考查一次函数的图象与反比例函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键.
二、选择题（每小题4分，共32分）
9.在一个不透明的袋子里装有9个白球和8个红球，这些球除颜色外，其余均相同，将袋中的球摇匀，从中任意取出一个球，摸到红球的可能性___________摸到白球的可能性.（填“大于”、“小于”或“等于”）
B.既 轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
3.根据分式的基本性质，分式 可以变形为（）
②若①中的其他条件不变，只改变点 ， 的位置如图3所示，请画出图形，判断 与 的位置关系并说明理由.
答案与解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列事件中 不可能事件是（）
A.常温下加热到 水沸腾B.3天内将下雨
C.经过交通信号灯的路口遇到红灯D.三根长度分别为2、3、5的木棒摆成三角形
【答案】D
【答案】
【解析】
【分析】
先判断a+1的正负，再根据二次根式的性质化简即可.
【详解】∵a<0， ，
∴a+1<0，
∴ = .
故答案为： .
【点睛】本考查了利用数轴比较有理数的大小，次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.
12.如图，在 中， ，如果 、 、 分别是 、 、 的中点， ，那么 _____________.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：原式 ，
故选C .
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
4.为了了解某区八年级10000名学生的身高情况，从中抽取500名学生的身高进行统计，下列说法不正确的是（）
5.某校开展捐书活动，八（1）班40名同学积极参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据.频率= 即可求解．
【详解】解：∵由图形得：捐书数量在5.5～6.5组的频数为8，
∴频率= =0.2．
7.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据同类二次根式的定义及合并的方法逐项计算即可.
详解：A. ，故正确；
B. 与 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C. ，故不正确；
D. 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
故选A.
点睛：本题考查了同类二次根式的定义和同类二次根式的合并，熟练掌握同类二次根式的定义和同类二次根式的合并的方法是解答本题的关键.化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式；合并的方法是把系数相加减，根号和被开方式不变.
14.当x＝_______时，分式 的值为0．
15.如图，正方形 的边长为 ，点 、 在 上，且 ，四边形 的面积为__________．
16.如图，双曲线 的图像经过正方形 的对角线交点 ，则这条双曲线与 的交点 的坐标为____________.
三、解答题（本大题共9小题，共84分）
17.计算：
【答案】3
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴AB=2CE=6，
∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF= AB=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【答案】小于
【解析】
【分析】
分别求出摸到红球和白球的概率，然后比较大小即可.
【详解】解：由题意得：
摸到红球的可能性为 ，
摸到白球的可能性为 ，
∵ ，
∴摸到红球 可能性小于摸到白球的可能性.
故答案为:小于.
【点睛】本题考查了可能性大小，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= .
A.10000名学生身高的全体是总体B.每个学生的身高是个体
C.500名学生身高情况是总体的一个样本D.样本容量为10000
【答案】D
【解析】
【分析】
我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象 从而找出总体、个体 再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形绕一个点旋转180°能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
B．由反比例函数图象知，k>0，那么，一次函数 的图象应经过第一，二，三象限，显然符合，故B正确；
C．由反比例函数图象知，k<0，那么，一次函数 的图象应经过第一，三，四象限，显然不符合，故C错误；
D．由反比例函数图象知，k<0，那么，一次函数 的图象应经过第一，三，四象限，显然不符合，故D错误．
故选B．
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.根据分式的基本性质，分式 可以变形为（）
A. B. C. D.
4.为了了解某区八年级10000名学生的身高情况，从中抽取500名学生的身高进行统计，下列说法不正确的是（）
A.10000名学生身高 全体是总体B.每个学生的身高是个体
A. B. C. D.
7.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
8.在同一平面直角坐标系中，函数 与 （ 为常数， ）的图像大致是（）
A. B. C. D.
二、选择题（每小题4分，共32分）
9.在一个不透明 袋子里装有9个白球和8个红球，这些球除颜色外，其余均相同，将袋中的球摇匀，从中任意取出一个球，摸到红球的可能性___________摸到白球的可能性.（填“大于”、“小于”或“等于”）
21.为了鼓励学生参加体育锻炼，王老师计划用270元购买一定数量的跳绳.商店推出优惠，购买达到一定数量之后，购买总金额打八折.王老师发现，享受优惠后，用480元可以买到计划数量的2倍还多10个.跳绳原来的单价是多少？
22.已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图像如图所示.
10.使式子 有意义 的取值范围是__________.
11.如图所示，数轴上点 所表示的数是 ，化简 的结果为____________.
12.如图，在 中， ，如果 、 、 分别是 、 、 的中点， ，那么 _____________.
13.在进行某批乒乓球的质量检验时，当抽取了2000个乒乓球时，发现优等品有1886个，则这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是_____________.（精确到0.01）
10.使式子 有意义的 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据被开放式是大于或等于零列式求解即可.
【详解】由题意得
x-6≥0，
∴ .
故答案为: .
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键.