半导体物理学考题 A (2010年1月)解答一、（20分）简述下列问题:1．（5分）布洛赫定理。

解答：在周期性势场中运动的电子，若势函数V(x)具有晶格的周期性，即：)x (V )na x (V =+，则晶体中电子的波函数具有如下形式：)x (u e )x (k ikx=ψ，其中，)x (u k 为具有晶格周期性的函数，即：)x (u )na x (u k k =+2．（5分）说明费米能级的物理意义；试画出N 型半导体的费米能级随温度的变化曲线。

解答：费米能级E F 是反映电子在各个能级中分布情况的参数。

能量为E F 的量子态被电子占据的几率为1/2。

N 型半导体的费米能级随温度变化曲线如右图所示：（2分）3、（5分）金属和N 型半导体紧密接触，接触前，二者的真空能级相等，S M W W <。

试画出金属—半导体接触的能带图，标明接触电势差、空间电荷区和内建电场方向。

解答：4．（5分）比较说明施主能级、复合中心和陷阱在半导体中的作用及其区别。

解答：施主能级：半导体中的杂质在禁带中产生的距离能带较近的能级。

可以通过杂质电离过程向半导体导带提供电子，因而提高半导体的电导率；（1分）复合中心：半导体中的一些杂质或缺陷，它们在禁带中引入离导带底和价带顶都比较远的局域化能级，非平衡载流子（电子和空穴）可以通过复合中心进行间接复合，因此复合中心很大程度上影响着非平衡载流子的寿命。

（1分）陷阱：是指杂质或缺陷能级对某一种非平衡载流子的显著积累作用，其所俘获的非平衡载流子数目可以与导带或价带中非平衡载流子数目相比拟。

陷阱的作用可以显著增加光电导的灵敏度以及使光电导的衰减时间显著增长。

（1分）浅施主能级对载流子的俘获作用较弱；有效复合中心对电子和空穴的俘获系数相差不大，而且，其对非平衡载流子的俘获几率要大于载流子发射回能带的几率。

一般说来，只有杂质的能级比费米能级离导带底或价带顶更远的深能级杂质，才能成为有效的复合中心。

而有效的陷阱则要求其对电子和空穴的俘获几率必须有很大差别，如有效的电子陷阱，其对电子的俘获几率远大于对空穴的俘获几率，因此才能保持对Cv FNFME iE ϖCidV电子的显著积累作用。

一般来说，当杂质能级与平衡时费米能级重合时，是最有效的陷阱中心。

（2分） 二、（15分）设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近的能量)k (E c 为：m)k k (m 3k )k (E 21222c -+=ηη 价带极大值附近)k (E v 为： mk 3m 6k )k (E 22212v ηη-= 式中m 为电子质量，ak 1π=求出：⑴．禁带宽度；⑵．导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量；⑶．导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量，能量的改变量。

解答：⑴. 求禁带宽度E g （7分） 根据 , 可求出对应导带能量极小值E c-min 的k 值1min c k 43k =-，则212k k c min c k m 4)k (E E min c η==-=- 根据 , 可求出对应价带能量极大值E v-max 的k 值0k maxv =-，则212k k v max v k m6)k (E E max v η==-=-则22222212maxv min c g m a48h m a 12k m 12E E E =π==-=--ηη ⑵．求导带底电子有效质量（3分），则求价带顶空穴有效质量（3分） ，⑶．准动量改变量：（2分）能量改变量：＝－Eg ＝－22222ma48h ma 12-=πη0m )k k (2m 3k 2dk )k (dE 122c =-+=ηη0mk 6dk )k (dE 2v =-=ηm 38m 2m 32dk )k (E d 2222c 2ηηη=+=m 83dk )k (E d /m 2c 22*n ==ηm 6dk )k (Ed 22v 2η-=m 61dk )k (E d /m m 2v 22*n *p =-=-=ηa8h3a 43k 43)k k (k 1min c max v -=-=-=-=--ηηηηπ∆三、(10分)一个有杂质补偿的硅半导体，已知掺入的受主浓度315a cm 10N -=。

设室温下费米能级恰好与施主能级E d 重合，电子浓度315cm105n -⨯=，试求出：（1）平衡少子浓度；（2）样品中的施主浓度N d （设)2g d =； （3）电离杂质和中性杂质的浓度各是多少？ 解答：（1）（2分）()34152102105.4105105.1-⨯=⨯⨯==cm n n p i（2）（4分）室温时，一般半导体都未进入本征激发区，可忽略本征激发。

而n>N a ，表明为N 型半导体。

所以受主全部电离。

电中性条件为：1exp +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+kTE E g N n N N n df d dd d a ， 由于d f E E =，则 1+=+d dg N Na n ， )(108.1)10105(3))(1(3161515-⨯=+⨯⨯=++=cm N n g N a d d（3）（4分）电离施主浓度315106-⨯=+=-cm N n n N a d d中性施主浓度316102.1)(-⨯=+-=cm N n N n a d d电离受主浓度31510-=cm Na 中性受主浓度0=a p四、（10分）试用一维非均匀掺杂（掺杂浓度随x 的增加而下降）的非简并p 型半导体模型导出爱因斯坦关系式：ekTD pp=μ 解答：由于掺杂浓度不均匀，电离后空穴浓度也不均匀，形成扩散电流dxdp eD pp -=j 空穴向右扩散的结果，使左边形成负电荷区，右边形成正电荷区，产生反x 方向的自建电场E i ，导致漂移电流i 'j pE e p p μ=热平衡情况下，自建电场引起的漂移电流与扩散电流彼此抵消，总的电流密度为零： 0e =-i p p pE dxdpeD μ＋ 而dxdVE －=，有电场存在时，在各处产生附加势能)(x eV -，使能带发生倾斜。

设x 处价带顶为)()(x eV E x E v v -=，则x 处的空穴浓度为⎪⎭⎫⎝⎛---=kT ))x (eV E (E exp N )x (p V F V则iV F V E kTpe dx dV kT e p dx dV kT e kT )x (eV E E exp N dx dp =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--= 故0pE e E kTepD e -i p i p =+μ 得ekTD pp=μ 得证。

五、（15分）（1）试证明，一般情况下，本征半导体的电阻率不是最高电阻率；（2）最高电阻率是本征电阻率的多少倍？（3）若p n μμ>，最高电阻率的半导体是N 型还是P 型？ 解答：（1）（8分）电阻率)(1112p in pn nnn e pe ne μμμμσρ+=+==令 p i n nn n n f μμ2)(+=，当)(n f 为最小值时，ρ为最大值。

令 0)(22=-=p i n nn dn n df μμ，得到： n p i n n μμ= 此时，02)(3222>=p i nn dn n f d μ，则 )(n f 为最小值，ρ为最大值：pn i p n i p n i e n n n e μμμμμμρ2111max =+⋅=而本征半导体电阻率为：)(1p n i i e n μμρ+=一般情况下，p n μμ>，所以，max ρρ≠i ，得证。

（2）（3分） pn pn i μμμμρρ2max += （3）（4分）已知npin n μμ=， 若p n μμ>，则i n n <，i i n nn p >=2，即n p >，所以，最高电阻率的半导体是P 型半导体。

六、(15分) 光照射如图所示P 型样品，假设光被均匀地吸收，电子－空穴对的产生率为G （小注入），少子的寿命为τ，开始光照（ｔ＝０）时，过剩少子浓度为零。

⑴．求出在光照开始后任意时刻t 的过剩少子浓度；⑵．不考虑表面复合，求出在光照达到稳定时的过剩少子浓度分布；(3). 当x=0的表面的表面复合速度为S 时，求出样品中稳态的过剩少子浓度分布。

解答：（1）．（5分）由于无外场作用，且光被均匀吸收，非平衡载流子产生均匀，则连续性方程为：，则令所以 ，由边界条件：t=0，（2）．（5分）无表面复合，光照达到稳定时，过剩载流子浓度将不再随时间变化：（3）（5分）当x ＝0处有表面复合，则引起载流子向x -方向的扩散，此时，稳态连续性方程为：022=+∆-∆G n dx n d D n n τ，则 222nnL G n dx n d τ-∆=∆ 令 n G n n τ-∆=∆'， 则有：n nL x L x n Be AeG x n //)(++=∆-τ设样品无穷大，而)(x n ∆是有限值，因此，B ＝0，则 nL x n Ae G x n /)(-+=∆τ在x=0处，表面复合率＝扩散流密度，即：0x 0x nn S dxnd D ==⋅=∆∆， 则 )(A G S A L D n nn+=-τ 得到 n n n n SL D G SL A +-=τ， 所以， )1()(/n L x nn nn e SL D SL G x n -+-=∆τG n t n +∆-=∂∆∂τn G tn ∆-=∂∆∂ττ有,'τG n n -∆=∆得到，’‘τn t n ∆-=∂∆∂τ/'t Ae n -=∆ττ/)(t Ae G t n -+=∆τG A n -=∆＝得到，0)1()(/ττt e G t n --=∆ττG n G nt n =∆=+∆-=∂∆∂，00X七、（15分）半导体光吸收有哪几种？描述各种吸收过程及其吸收谱的特点，给出相应吸收能量阈值。

解答：半导体光吸收：本征吸收，激子吸收，杂质吸收，自由载流子吸收，晶格振动吸收 （1分） 1、（3分）本征吸收：电子由价带向导带的跃迁所引起的光吸收。

吸收谱为连续谱，在高能端。

吸收阈值为：g E h ≥ν（直接跃迁），p g E E h -≥ν（间接跃迁）2、（3分）激子吸收：价带中的电子吸收g E h <ν的光子，从价带激发，但还不足以进入导带成为自由电子,因库仑作用仍然和价带中留下的空穴联系起来，形成束缚态，即为激子，所引起的光吸收为激子吸收。

吸收谱在低温时才可观察到，在能量略低于本征吸收限处，为分立谱，并渐与本征吸收谱相连。

吸收能量阈值为：1ex E Eg -3、（3分）杂质吸收：占据杂质能级的电子或空穴的跃迁所引起的光吸收。