用电流场模拟静电场
【实验目的】
1.模拟方法来测绘具有相同数学形式的物理场。

2.分布曲线及场量的分布特点。

3.深对各物理场概念的理解。

4.步学会用模拟法测量和研究二位静电场。

【实验仪器】
GVZ-3 型导电微晶静电场描绘仪 【实验原理】
模拟法本质上使用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程模拟不易实现、不便测量的状态和过程，要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，且满足相似的数学形式及边界条件。

一般情况，模拟可分为物理模拟和数学模拟，对一些物理场的研究主要采用物理模拟（物理模拟就是保持同一物理本质的模拟），例如用光测弹性模拟工件内部应力的分布等。

数学模拟也是一种研究物理场的方法，它是把不同本质的物理现象或过程，用同一数学方程来描绘。

对一个稳定的物理场，若它的微分方程和边界条件一旦确定，其解是唯一的。

两个不同本质的物理场如果描述他们的微分方程和边界条件相同，则他们的解是一一对应的，只要对其中一种易于测量的场进行测绘，并得到结果，那么与它对应的另一个物理场的结果也就知道了。

由于稳衡电流场易于实现测量，所以就用稳衡电流场来模拟与其具有相同数学形式的其他物理场。

我们还要明确，模拟法是实验和测量难以直接进行，尤其是在理论难以计算时，采用的一种方法，它在工程设计中有着广泛的应用。

(一)模拟长同轴圆柱形电缆的静电场
稳恒电流场与静电场是两种不同性质的场，但是他们两者在一定条件下具有相似的空间分布，即两种遵守规律在形式上相似，都可以引入电位U ,电场强度U -∇=E ，都遵守高斯定律。

对于静电场，电场强度在无源区域内满足以下积分关系
⎰=⋅S
dS E 0 ⎰=⋅L
dl E 0
对于稳恒电流场，电流密度矢量 j 在无源区域内也满足类似的积分关系： ⎰=⋅s
dS j 0 ⎰
=⋅L
dl j 0
由此可见 E 和 j 在各自区域中满足同样的数学规律。

在相同边界条件下，具有相同的解析解。

因 此，我们可以用稳恒电流场来模拟静电场。

在模拟的条件上，要保证电极形状一定，电极电位不变，空间介质均匀，在任何一个考察点，有“静电恒稳U U =”或“静电稳恒E E =”。

下面用实验来验证这种等效性。

1.同轴电缆及其静电场分布
如图1a 所示，在真空中有一半径为a r 的长圆柱体A 和一内半径为b r 的长圆筒形导体B ，它们同轴放置，分别带等量异号电荷。

由高斯定理知，在垂直于轴线的任一截面S 内，都有均匀分布的辐射状电场线，这是一个与坐标Z 无关的二
维场。

在二维场中，电场强度 E 平行于 XY 平面,其等位面为一簇同轴圆柱面。

因此只要研究 S 面上的电场分布即可。

图 1 同轴电缆及其静电场分布
由静电场中的高斯定理可知，距轴线的距离为 r 处（如图 1b 所示）的各点电场强度为
r
E 02πελ
=
(1) 式中0ε为柱面各单位长度的电荷量，其电位为
a
a r
r a r r
U dr E U U a
ln 20r πελ-
=⋅-=⎰ (2) 设0r r =时，0=b U ，则有
a
b
a r r U
ln 20=πελ 3) 代入式（2）,得
a
b b a r r
r U U ln ln
r = (4)
r r U d dU E a
b a r
r 1
r ln r ⋅=-
= (5)
2.同轴圆柱面电极间的电流分布
若上述圆柱形导体 A 与圆筒形导体 B 之间充满了电导率为σ的不良导体， A 、B 与电源电流正负 极相连接（见图 2），A 、B 间将形成径向电流，建立稳恒电流场'τE ，可以证明
不良导体中的电场强度'γE 与原真空中的静电场τE 是相等的。

取厚度 t 的圆轴形同轴不良导体片为研究对象，设材料电阻率为ρ (ρ=σ
1
) ，则任意半
径 r 到 r+dr
的圆周间的电阻是 r
dr t rt dr S dr dR ⋅=⋅=⋅
=πρπρρ22 (6) 则半径为 r 到 rb 之间的圆柱片的电阻为
⎰==
rb r b
rrb r
r t r dr t R ln 22πρπρ (7)
图2 同轴电缆的模拟模型
总电阻为(半径a r 到b r 之间圆柱片的电阻)
a
b r r r r
t R b a ln 2πρ=
(8) 设0=b U ，两圆柱面间所加电压为a U ，则径向电流为
a
b
a
b a a r r tU r Rr U I ln 2ρπ==
(9) 距轴线 r 处的电位为
a
b
b
a
rr r r r r U IR U b
ln ln
r == (10) 则r r r U dr dU E a
b a r 1
ln ''r ⋅=-
= (11)
由以上分析可见r 'U U r ≈，r 'E E r ≈的分布函数完全相同。

为什么这两种场的分布相同呢？我们可以 从电荷产生场的观点加以分析。

在导电质中没有电流通过的，其中任一体积元（宏观小，微观大，其内 仍包含大量原子）内正负电荷数量相等，没有净电荷，呈电中性。

当有电流通过时，单位时间内流入和 流出该体积元内的正或负电荷。

这就是说，真空中的静电场和有稳衡电流通过时导电质中的场都是由电 极上的电荷产生的。

事实上，真空中电极上的电荷是不动的，在有电流通过的导电质中，电极上的电荷 一边流失，一边由电源补充，在动态平衡下保持电荷的数量不变。

所以这两种情况下电场分布是相同的。

模拟条件：
模拟方法的使用有一定的条件和范围，不能随意推广，否则将会得到荒谬的结论。

用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下例三点：
(1)稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同；
(2)稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀，并满足σ电源>>σ导电质才能保证电流场中的电
极（良导体）的表面也近似是一个等位面。

(3)模拟所用电极系统与模拟电极系统的边界条件相同。

测绘方法：
场强 E 在数值上等于电位梯度，方向指向电位降落的方向。

考虑到 E 是矢量，而电位 U 是标量，从实验测量来讲，测定电位比测定场强容易实现，所以可先测绘等位线，然后根据电场线与等位线正交的原理，画出电场线。

这样就可由等位线的间距确定电场线的疏密和指向，将抽象的电场形象反映出来。

实验装置：
GVZ-3 型导电微晶静电场描绘仪（包括导电微晶，双层固定支架，同步探针等），如图 2-14-3 所示， 支架采用双层式结构，上层放记录纸，下层放导电微晶。

电极已直接制作在导电微晶上，并将电极引线 接出到外接线柱上，电极间制作有导电率远小于电极且各项均匀的导电介质。

接通直流电源（10V ）就 可以进行实验。

在导电微晶和记录纸上方各有一探针，通过金属探针臂把两探针固定在同一手柄座上，两探针始终保持在同一铅垂线上。

移动手柄座时，可保证两探针的运动轨迹是一样的。

由导电微晶上方 的探针找到待测点后，按一下记录纸上方的探针，在记录纸上留下一个对应的标记。

移动同步探针在导 电微晶上找出若干电位相同的点，由此即可描绘出等位线。

【实验内容】
1．描绘同轴电缆的静电场分布
利用图2b 所示的模拟模型，将导电微晶内外两电极分别与直流稳压电源的正负极相连接，电压表正负极分别与同步探针及电源负极相连接，移动同步探针测绘同轴电缆的等位线簇。

要求相邻两等位线间的电位差为 1 伏，以每条等位线上各点到原点的平均距离 r 为半径画
出等位线的同心圆簇。

然后根据电场线与等位线正交原理，再画出电场线，并指出电场强度方向，得到一张完整的电场分布图。

在坐标纸上作出相对电位a /U U R 和r ln 的关系曲线，并与理论结果比较，再根据曲线的性质说明等位线是以内电极中心为圆心的同心圆。

【注意事项】
由于导电微晶边缘处电流只能沿边流动，因此等位线必然与边缘垂直，使该处的等位线和电力线严重畸变，这就是用有限大的模拟模型去模拟无限大的空间电场时必然会受到的”边缘效应”的影响．如果减小这种影响，则要使用”无限大”的导电微晶进行实验，或者人为地将导电微晶的边缘切割成电力线的形状． 【思考题】
1.根据测绘所得等位线和电力线的分布，分析那些地方场强较强，那些地方场强较弱？
2.从实验结果能否说明电极的电导率远大于导电介质的电导率？如不满足这条件会出现什么现象？
答：1 电场线密集的地方场强较强 疏的地方较弱。

2.能说明。

不满足时，图形会变形，将会出现不规则的图形。

注：实验结果图见纸质稿。