第一讲 排列组合概念及简单应用排列和排列数公式A m n＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1.组合与组合数公式1．组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n )2．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n常规题型一、投信问题1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？二、染色问题1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108三、相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。
四、顺序一定问题1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？五、平均分配与不平均分配问题1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？六、综合1、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.解（1）144（个）.（2）156（个）.（3）162(个).2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）A.1 440种B.960种C.720种D.480种6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）基础训练1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.9个B.24个C.36个D.54个解析选出符合题意的三个数有12339C C=种方法，每三个数可排成336A=个三位数，∴共有9×6=54个符合题意的三位数2.已知{1，2}⊆X⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有（）A.2个B.6个C.4个D.8个解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.故有012333338C C C C+++=（个）3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A.25种B.35种C.840种D.820种解析若选男生甲，则有3510C=种不同的选法；同理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有455C=种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.28解析丙不入选的选法有3984C=（种）,甲乙丙都不入选的选法有3735C=（种）.所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种B.48种C.72种D.96种解析恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共32 3472A A⋅=种排法.例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；2520（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；5040（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；3600（4）全体排成一排，女生必须站在一起；576（5）全体排成一排，男生互不相邻；1440（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.720例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；120 （2）至少有1名女运动员；246 （3）队长中至少有1人参加；196（4）既要有队长，又要有女运动员.191练习：在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A ，B 必须当选；120 （2）A ，B 必不当选；252 （3）A ，B 不全当选；672（4）至少有2名女生当选；596（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.12600例 3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？144 （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？144 （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？84练习：已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. （1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解 （1）先排前4次测试，只能取正品，有 种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有2242C A ⋅种测法，再排余下4件的测试位置，有44A 种测法.所以共有不同排法 424644103680A A A ⋅⋅=种.（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以不同测试方法共有11344634()576A C C A ⋅⋅=种.第二讲 二项式定理及其应用一、 定理1.公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)叫做二项式定理2. 通项T k ＋1＝C k n an －k b k 为展开式的第k ＋1项． 3．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫做二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 4．二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大；当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1. 5. 二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，二、常规题型 专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？练：若21()nx x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .练：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。