一. 极点配置原理
假设原系统的状态空间模型为：
⎩⎨⎧=+=Cx
y Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：
这时，闭环系统的状态空间模型为：
()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨
=⎩
二. 状态观测器设计原理
假设原系统的状态空间模型为：
⎩⎨⎧=+=Cx
y Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：
ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩
设ˆx x x
=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-
解得：
(A GC)t
(0),t 0x e
x -=≥
由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。
如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样
x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx
就能够渐进地逼近实际状态向量x 。
状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。
三. 状态观测的实现
为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。
u Kx v =-+
证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得
2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cx
y CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x
-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩
将等号左边分别用z 的各分量12,,
,n z z z 表示，有
121(n 1)(n 2)(n 3)
2
n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤
⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎪
⎪
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣
⎦
如果系统完全能观，则
rankQ n =
即
1ˆ(Q Q)T T
x Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变
换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx。
也就是说系统完全能观，状态就能被系统的输入输出以及各阶倒数估计出来。
四. 实例
给定受控系统为
再指定期望的闭环极点为12,341,1,2i λλλ***
=-=-±=-，观测器的特征值为
12,33,32i λλ=-=-±，试设计一个观测器和一个状态反馈控制系统，并画出系统
的组成结构图。
[]0100000101000100
05
021000x x u y x
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
=
1. 状态反馈设计：
第一步、判断系统的能控性。
23001
02102040201020100Q rank B
AB
A B
A B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦
可知系统完全能控，可任意配置极点x 。
第二步、写出原系统和极点配置后系统的特征多项式。
42det(sI )5A s s -=-；
432det(sI (A ))510104BK s s s s --=++++。
则：01230,0,5,0αααα===-=，01234,10,10,5αααα****
====。
第三步、求出矩阵p 。
33
223123
10003010100030110002010002P A B
A B
AB
B α
ααααα-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦ 11/3
01/6001/301/6001/200001/2P ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥
-⎣⎦ 第四步、求出k 。
[]1
00
1122334/310/349/325/6K P αααααααα*
***-⎡⎤=----=----⎣⎦。
2. 观测器设计：
第一步、判断系统的能观性。
12310000
100400100001C CA Q rank CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥===⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
可知系统完全能观，能对系统状态x 重构。
第二步、判断C 的秩和状态方程是否是降维观测器的形式,写出各矩阵以及观测器特征多项式。
1rankC =；
[]1112212212001010,100,0,001,B 0,B 000502A A A A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
()3293139s s s s α=+++。
第三步、设出[]123L l l l =并求出L 。
()()()3222121213det 55sI A LA s l s l s l l -+=+-+-+；
93684L ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
第四步、写出z 。
9104513601240084505761z z y u ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
第五步、写出ˆx。
12310009100ˆ3601084001y z x
z z ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦。
3.matlab 计算：
B=[0 1 0 -2]';
C=[1 0 0 0]; %输入状态方程的矩阵 D=0;
A12=[1 0 0];
A22=[0 -1 0;0 0 1;0 5 0];
m=rank(ctrb(A,B)) %判断系统是否完全能控
n=rank(obsv(A,C)) %判断系统是否完全能观
if m==4
disp('系统是完全能控,能任意配置极点')
else
disp('系统不是完全能控')
end
if n==4
disp('系统是完全能观,能对系统状态x重构')
else
disp('系统不是完全能观')
end
p1=[-1;-1+1*i;-1-1*i;-2];%配置状态反馈的极点
K=acker(A,B,p1) %求出状态反馈矩阵k p2=[-3;-3+2*i;-3-2*i]; %配置观测器的极点
L1=acker(A22',A12',p2);
L=L1' %求出反馈增益矩阵g
结果：
m =
4
n =
4
系统是完全能控,能任意配置极点
系统是完全能观,能对系统状态x重构
K =
-4/3 -10/3 -49/6 -25/6
L =
9
-36
-84 4、结构图：
五．总结
状态反馈构成反馈控制律，实现对系统的闭环控制，达到期望的性能指标的要求，所谓状态反馈控制，就是能把所有状态变量作为反馈量的控制。
所谓状态观测器，指的是一个动力学系统的等价系统。
动力学系统一般以端口表现的，其等价系统能按照需要展示原系统的所有状态变量或结构关系。