第2节 电场能的性质一、电势能和电势1．电势能(1)电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
(2)电势能①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即W AB ＝E p A －E p B ＝－ΔE p 。
2．电势(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝E p q 。
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
3．等势面(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
二、电势差1．定义：电荷在电场中由一点A 移到另一点B 时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。
2．定义式：U AB ＝W AB q。
3．电势差与电势的关系：U AB ＝φA －φB ，U AB ＝－U BA 。
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。
即U ＝Ed ，也可以写作E ＝U d。
2．公式U ＝Ed 的适用范围：匀强电场。
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。
(×)(2)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。
(×)(3)A 、B 两点间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点时静电力所做的功。
(×)(4)A 、B 两点的电势差是恒定的，所以U AB ＝U BA 。
(×)(5)等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。
(√) (6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。
(×)2．(人教版选修3－1P 22T 3改编)(多选)某电场的电场线和等势面如图所示，下列说法正确的是( )A ．B 点的电势高于A 点的电势B ．把负电荷从A 移到B ，静电力做正功，电势能减少C ．负电荷从B 移到A 时，静电力做负功D ．U AB ＝U BA[答案] ABC3．(人教版选修3－1P 23思考讨论改编)如图所示，在E ＝500 V/m 的匀强电场中，a 、b 两点相距d ＝2 cm ，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则U ab 等于( )A ．5 VB ．10 VC ．－5 VD ．－10 V[答案] C4．(人教版选修3－1P 20T 7改编)电场中某三条等势线如图中实线a 、b 、c 所示。
一电子仅在电场力作用下沿直线从P 运动到Q ，已知电势φa >φb >φc ，这一过程电子运动的v t 图象可能是下图中的( )A B C DA[结合φa>φb>φc，由题图等势线的特点可确定此电场为非匀强电场，且Q点处电场强度小于P点处电场强度，电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q，做加速度越来越小的加速运动，选项A正确。
]电势高低和电势能大小的判断[依题组训练] 1．电势高低常用的两种判断方法(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若U AB>0，则φA>φB；若U AB<0，则φA<φB。
2．电势能大小的判断方法判断角度判断方法做功判断法电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大电荷电势法正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大公式法由E p＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，E p的正值越大，电势能越大；E p的负值的绝对值越小，电势能越大能量守恒法在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大[题组训练]1.(多选)(2019·江苏高考)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。
先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。
再将Q1从C点沿CB移到B点并固定。
最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点。
下列说法正确的有( )A ．Q 1移入之前，C 点的电势为W qB ．Q 1从C 点移到B 点的过程中，所受电场力做的功为0C ．Q 2从无穷远处移到C 点的过程中，所受电场力做的功为2WD ．Q 2在移到C 点后的电势能为－4WABD [由题意可知，C 点的电势为φC ＝E p q ＝W q ，故A 正确；由于B 、C 两点到A 点(＋q )的距离相等，所以B 、C 两点的电势相等，所以Q 1从C 点移到B 点的过程中，电场力做功为0，故B 正确；由于Q 1的电荷量也为＋q ，所以当在B 点固定Q 1后，C 点的电势为2W q，所以Q 2 从无穷远移到C 点过程中，电场力做功为：W ＝qU ＝－2q ×⎝⎛⎭⎪⎫0－2W q ＝4W ，故C 错误；由于C 点的电势为2W q，所以Q 2的电势能为E p ＝－4W ，故D 正确。
] 2.(2019·濮阳油田一模)如图所示，真空中等量正点电荷放置在M 、N 两点，在MN 连线上有对称点a 、c ，MN 连线的中垂线上有对称点b 、d ，则下列说法正确的是( )A ．电荷＋q 在c 点的电势能大于在a 点的电势能B ．电荷＋q 在c 点的电势能小于在a 点的电势能C ．在MN 连线的中垂线上，O 点电势最高D ．电荷－q 从d 点由静止释放，在它从d 点运动到b 点的过程中，加速度先减小再增大C [根据电场线的分布情况和对称性可知，a 、c 两点的电势相等，则点电荷在a 点的电势能一定等于在c 点的电势能，故A 、B 错误；沿电场线方向电势降低，在MN 连线的中垂线上，O 点电势最高，故C 正确；由对称性知O 点的电场强度为零，电荷－q 从d 点由静止释放，在它从d 点运动到b 点的过程中，加速度可能先减小再增大，也可能按增大→减小→增大→减小变化，故D 错误。
]电势差与电场强度的关系 [讲典例示法] 1．公式E ＝U d 的三点注意(1)只适用于匀强电场。
(2)d 为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．两个推论(1)如图甲所示，C 点为线段AB 的中点，则有φC ＝φA ＋φB2。
(2)如图乙所示，AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD 。
甲 乙3．三点妙用(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。
当电势差U 一定时，电场强度E 越大，则沿电场强度方向的距离d 越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。
如距离相等的两点间的电势差，E 越大，U 越大；E 越小，U 越小。
(3)利用φx 图象的斜率判断沿x 轴方向电场强度E x 随位置的变化规律。
在φx 图象中斜率k ＝ΔφΔx ＝U d＝E x ，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[典例示法] 如图所示，水平面内有A 、B 、C 、D 、M 、N 六个点，它们均匀分布在半径为R ＝2 cm 的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。
已知A 、C 、M 三点的电势分别为φA ＝(2－3)V 、φC ＝2 V 、φM ＝(2＋3)V ，下列判断正确的是( )A ．电场强度的方向由A 指向DB ．电场强度的大小为1 V/mC ．该圆周上的点电势最高为4 VD ．沿圆周将电子从D 点经M 点移到N 点，电场力先做负功后做正功C [在匀强电场中AM 连线的中点G 的电势φG ＝12(φA ＋φM )＝2 V ＝φC ，所以直线COGN 为等势线，在匀强电场中等势线相互平行，电场线与等势线相互垂直，且由电势高的等势线指向电势低的等势线，可知直线AB 、直线DM 分别为等势线，直线DB 、直线MA 分别为电场线，可知电场强度的方向由M 指向A (或由D 指向B )，故A 错误；MA 两点间的电势差U MA ＝φM －φA ＝2 3 V ，沿电场方向的距离d ＝3R ＝350 m ，电场强度E ＝U MA d＝100 V/m ，故B 错误；过圆心O 做MA 的平行线，与圆的交点H 处电势最高，U HO ＝E ·R ＝2 V ，由U HO ＝φH －φO 可得：最高电势φH ＝U HO ＋φO ＝4 V ，故C 正确；沿圆周将电子从D 点经M 点移到N 点，电场力先做正功再做负功，故D 错误。
]应用E ＝Ud关系的解题思路[跟进训练]利用E ＝Ud 定性分析1.如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C 点是A 、B 连线的中点。
已知A 点的电势为φA ＝30 V ，B 点的电势为φB ＝－10 V ，则C 点的电势( )A ．φC ＝10 VB ．φC >10 VC ．φC <10 VD ．上述选项都不正确C [由于A 、C 之间的电场线比C 、B 之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即U AC >U CB ，所以φA －φC >φC －φB ，可得φC <φA ＋φB 2，即φC <10 V ，选项C 正确。
] 2.(多选)(2019·山东泰安一模)如图所示，在正点电荷Q 的电场中，A 、B 、C 为直角三角形的三个顶点，D 为AC 的中点，∠A ＝30°，A 、B 、C 、D 四点处的电势满足φA ＝φC ，φB ＝φD ，点电荷Q 在A 、B 、C 三点所在平面内，则( )A ．点电荷Q 在A 、B 的连线上B ．点电荷Q 在B 、D 连线的中点处C ．φD >φCD ．将负试探电荷从C 点搬运到B 点，电场力做负功AC [因φA ＝φC ，则点电荷Q 在A 、C 连线的垂直平分线上；又φB ＝φD ，则点电荷Q 又在B 、D 连线的垂直平分线上；如图，则点电荷Q 在A 、B 的连线上，则选项A 正确，B 错误；D 点距离正点电荷的距离较C 点近，可知φD >φC ，选项C 正确；将负试探电荷从C 点搬运到B 点，电场力做正功，选项D 错误。
]利用E ＝Ud 定量计算3.如图所示，匀强电场方向平行于xOy 平面，在xOy 平面内有一个半径为R ＝5 m 的圆，圆上有一个电荷量为q ＝＋1×10－8C 的试探电荷P ，半径OP 与x 轴正方向的夹角为θ，P 沿圆周移动时，其电势能E p ＝2.5×10－5sin θ(J)，则( )A ．x 轴位于零势能面上B ．电场强度大小为500 V/m ，方向沿y 轴正方向C ．y 轴位于零势能面上D ．电场强度大小为500 V/m ，方向沿x 轴正方向A [由E p ＝2.5×10－5sin θ(J)知，x 轴上的势能为零，是零势能面，电势沿y 轴变化最快，电场线沿y 轴方向，A 正确，C 错误；当θ＝90°时，E p ＝2.5×10－5 J ＝EqR ，解得E ＝500 V/m ，又电势能大于零，故电场强度的方向沿y 轴负方向，B 、D 错误。