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哈工大概率论与数理统计课后习题答案四

习 题 四1.一个袋子中装有四个球,它们上面分别标有数字1,2,2,3,今从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一球,以,X Y 分别表示第一次,第二次取出的球上的标号,求(,)X Y 的分布列.解 (,)X Y 的分布列为其中 (1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X =======(1,2)(1)(2|1)P XY P X P Y X ======121436=⨯= 余者类推。

2.将一枚硬币连掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验,故1~(3,).2X B331()(),0,1,2,32k P X k C k ===,于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为其中 (0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======,13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=,余者类推。

3.设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其它又(1){(,)|1,3}D x y x y =<<;(2){(,)|3}D x y x y =+<。

求{(,)}P X Y D ∈解 (1)13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦; 13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524.4.设(,)X Y 的概率密度为222(,(,)0,.C R x y R f x y ⎧-+≤⎪=⎨⎪⎩其他求(1)系数C ;(2)(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.解 (1)22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,∴ 33C Rπ=. (2)设222{(,)|}Dx y x y r =+≤,所求概率为22233{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=-⎰⎰322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5.已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ,则(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或 22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或 解2 由联合密度可见,,X Y独立,边缘密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01,()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ,则20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y YX y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ,则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或6.设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x <<,||y x <内服从均匀分布,求边缘概率密度。

解 (,)X Y 的概率密度为 1,(,),(,)0,.x y D f x y ∈⎧⎨⎩其他 关于X 和Y 的密度为0,01()(,),01,x X xx x f x f x y dy dy x +∞-∞-⎧≤≥⎪==⎨<<⎪⎩⎰⎰或 2,01,0,.x x <<⎧=⎨⎩其他110,1,,10,()(,),01,0, 1.yY y y dx y f y f x y dx dx y y +∞--∞≤-⎧⎪⎪-<≤⎪==⎨⎪<<⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰1,10,1,01,0,.y y y y +-<≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其他 1||,||1,0,.y y -<⎧=⎨⎩其他7.设(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,.y e x y f x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求边缘密度和概率(1)P X Y +≤解0,0,0,0,()(,),0.,0;X x y xx x f x f x y dy e x e dy x +∞+∞---∞≤⎧≤⎧⎪===⎨⎨>>⎩⎪⎩⎰⎰00,0,0,0,()(,),0.,0;y Y yy y y f y f x y dx ye y e dx y +∞---∞⎧≤⎧≤⎪⎪===⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰111122001(1)(,)()x y x x x x y P X Y f x y dxdy e dy dx e e e dx ----+≤⎛⎫+≤===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 11212ee --=-+.8.一电子仪器由两个部件组成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)已知,X Y的联合分布函数为:0.50.50.5()1,0,0(,)0,.x y x y e e e x y F x y ---+⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他 (1)问,X Y 是否独立?为什么?(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 (1)先求边缘分布函数:0.51,0,()lim (,)0,0.x X y e x F x F x y x -→+∞⎧-≥==⎨<⎩0.51,0,()lim (,)0,0.y Y x e y F y F x y y -→+∞⎧-≥==⎨<⎩因为(,)()()X Y F x y F x F y =⋅,所以,X Y 独立.(2)(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤0.050.050.1ee e ---=⋅=. 9.设(,)X Y 的概率密度为 (),0,0,(,)0,.x y ex Y f x y -+⎧≥≥⎪=⎨⎪⎩其他间,X Y是否独立?解 边缘密度为00,0,0,0,()(,),0.,0;X x x y x x f x f x y dy e x e e dy x +∞+∞----∞<⎧<⎧⎪===⎨⎨≥>⎩⎪⎩⎰⎰ 0,0,(),0.Y y y f y e y -<⎧=⎨>⎩因为 (,)()()X Y f x y f x f y =⋅,所以,X Y 独立.10.设(,)X Y 的概率密度为8,01,(,)0,.xy x y f x y ≤<<⎧=⎨⎩其他 问,X Y 是否独立.解 边缘密度210,01,4(1),01,()(,)0,8,0 1.X x x x x x x f x f x y dy xydy x +∞-∞⎧<>⎧-≤≤⎪⎪===⎨⎨≤≤⎪⎩⎪⎩⎰⎰或其他;304,01,8,01,()(,)0,0,y Y y y xydx y f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他;其他;因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅,所以,X Y不独立。

11.设(,)X Y 的概率密度为1,||1,||1,(,)40,.xyx Y f x y +⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他试证明X 与Y 不独立,但2X 与2Y 是相互独立的。

证 先求,X Y的联合分布函数(,)F x y111111110,11,1,||1,||1,41(,),||1,1,41,1,||1,41,1,1;x yx y x y uv dudv x y uvF x y dudv x y uvdudv x y x y ------⎧≤-≤-⎪+⎪<<⎪⎪+⎪=<>⎨⎪+⎪><⎪⎪≥≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或220,1111(1)(1)(1)(1),||1,4161(1),1,||121(1),||1,1,21,1, 1.x y x y x y x y x y x x y x y ⎧≤-≤-⎪⎪+++++<⎪⎪⎪=+>≤⎨⎪⎪+≤>⎪⎪>>⎪⎩或关于X 的边缘分布函数为0,1,1()lim (,)(1),11,21,1.X y x F x F x y x x x →+∞⎧<-⎪⎪==+-≤≤⎨⎪⎪>⎩关于Y 的边缘分布函数为0,1,1()(1),11,21, 1.Y y F y y y y <-⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩因为(,)()()X Y F X Y F x F y ≠⋅,所以,X Y不独立.再证2X 与2Y 独立:设22,X Y 的联合分布函数为1(,)F z t ,则0,0221(,)(,){z t F z t P X z Y t P x Y >>=≤≤====≤<≤((F F F F =--+0,00,01,01,,1,01,,01,1,1,1, 1.z t z t z t z t z t ⎧≤≤<<<<=≥<<<<≥⎪≥≥⎪⎩或关于22()X Y 的边缘分布函数分别为210,0,()lim (,)01,1, 1.X t z F z F z t z z →+∞⎧≤==<<≥⎪⎩20,0,()01,1, 1.Yt F t t t ⎧≤=<<≥⎪⎩因为221(,)()()X Y F z t F z F t =⋅,所以2X 与2Y 独立.证2 利用随机向量的变换(参见王梓坤《概率基础及其应用》83页) 设 22,Z X T Y ==. 函数2z x =的反函数为212x x t y ===的反函数为12y y ==111111,,x x z tJ y y z t∂∂∂∂===∂∂∂∂,22111221,J J J J ===;于是22(,)X Y 的概率密度函数为22111(,)(,)||i j ij i j f z t f x y J ===∑∑1[111101,01,40,.z t ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他01,01,0,z t <<<<=⎩其它.关于2X 的边缘密度为2101,()(,)0,.X z f z f z t dt +∞-∞<<==⎩⎰其它 关于2Y的边缘密度为201,()0,.Y t f t <<=⎩其他 因为221(,)()()X Y f z t f z f t =⋅,所以22,X Y独立.12.设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X解 设(,)1,2,1,2,3.i j ijP Xx Y y p i j =====由联合分布和边缘分布的关系知11124p =由独立性 11111311()68p p p =⨯++,即 131114248p =++,故13112p =,11111248124p ⋅=++=,234p ⋅=222213()84p p =+⨯, 所以 2238p =,212p ⋅=31111623p ⋅=--= 231113124p =-= 所以(,)X Y 的分布为13.已知随机变量1X 和2X 的概率分布为 1101~111424X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 21~1122X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦而且 12(0)1P X X ==(1)求1X 和2X 的联合分布; (2)问1X 和2X 是否独立?为什么?解 (1)12(0)1P X X ==知1212(1,1)(1,1)0P X X P X X =-=====,再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)X X 的分布为(2)因1212111(1,0)(1)(0)442P X X P X P X =-==≠⨯==-=,所以,X Y不独立.14.设随机变量,X Y相互独立,且都服从(,)b b -上的均匀分布,求方程20t tX Y ++=有实根的概率.解 设A =‘方程有实根’,则 A 发生240X Y ⇔-≥即 224()(4)(,)x yP A P X Y f x y dxdy ≥=≥=⎰⎰2242211()444x bb bbb x dxdy b dx b b ---==+⎰⎰⎰ 32211[2]46242b b b b =+=+, 4b ≤.2221(4)1()4x P XY b dx b -≥=--⎰3322211[4(88)]412b b b -+15.已知随机变量X 和Y 的联合分布为(,)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(,)0.100.150.250.200.150.15x y P X x Y y ==试求:(1)X 的概率分布;(2)X Y +的概率分布 解 (1)X 的分布为0120.250.450.30X P(2)X Y +的分布为01230.100.40.350.15X Y P +16.设X与Y为独立同分布的离散型随机变量,其概率分布列为()P X n =1()()2n P Y n ===,1,2,n =,求X Y +的分布列.解 设Z X Y =+,Z 的分布为11()()()()k i P Zk P X Y k P X i P Y k i -===+====-∑1111()()22k i k i i --==∑1(1)()2,3,2k k k =-=17.设,X Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为,n p 的二项分布,证明Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布.证 0()()()()ki P Zk P X Y k P X i P Y k i ===+====-∑0(1)(1)ki i n i k i k in k in n i Cp p C p p ----+==-⋅-∑2220(1)(1)kkn kik i k k n kn n n i p p C CC p p ---==-=-∑ 0,1,,2k n = 故ZX Y =+服从参数为2,n p 的二项分布.注:此处用到一个组合公式:kik i k m n m n i CC C -+==∑此公式的正确性可直观地说明如下:从m n +个不同的元素中取k 个共有km n C +种不同的取法。

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