振动和波动
机械振动知识要点
1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意 义及确定方法
x Acos(t )
决定于系统本身的性质！ k
m
A和由初始条件x0, v0决定！
A
x02

v02
x0
tan v0
x0
值
v0的正负号(sin)
2. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐 振动，能根据已知条件列出运动的微分方程， 并求出简谐振动的周期
连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为
2
3
2 3 t2 0.67s
例2、如图所示的振动曲线。求： （1）简谐振动的运动方程 （2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间
分别是多少 （3）状态d的速度和加速度
【解】 方法1 解析法
x Acos(t 0)
方法二. 分析能量法
由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置 系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为
E 1 J2 1 kx2 mg l (1 cos ) Const
2
2
2
J为杆绕O轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，
x l 代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：
F kx 0.0086N
（3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；
（4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
第一次到达x=5.0cm时的相位为 故 第一次达到此处所需时间为
5
3
t 0
t1



5
3 2
3
1s
-0.05

O 0.05 0.1 x
动力学判据；能量判据；运动学判据 4、简谐振动的合成: 解析法、旋转矢量法
例１ 一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期T = 2.0 s。若t = 0时，位移x0= - 5.0 cm，且 物体向负x方向运动， 试求： （1）t = 0.5 s时物体的位移； （2）t = 0.5 s时物体的受力情况； （3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
【解】 方法一. 分析受力法
O 取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向
M
mg

Mg
MF

(
mgl 2
sin ) (kl sinl cos )

ml 2 3
d2
dt 2

f
很小时
d2
dt 2

3 ml 2

mgl 2
kl2


0
细杆微小振动是简谐振动
【解】 （1）由已知可得简谐振动的振幅 A 0.10m
角频率 2 T rad/s)
振动表达式为 x 0.10cos t o (SI)
t 0时 x 0.10 coso 0.05m
v 0.05sino 0
t 0
由旋转矢量法可得 o 2 3
(1 2 ) 2k
(1 2 ) (2k 1)
(1 2 ) 其它值
A A1 A2
( 同相 )
A A1 A2 ( 反相 )
A1 A2 A A1 A2
本章基本题型：
1、已知振动方程，求特征参量 （振幅、周期、频率、初相位）
2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程 3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动
tba

b a


/3 /6

2s
tcb

c b


/6 /6
1s
vd

A sin
3

0.451A
ad

2 x




6
2

Acos
3

2

Am/s2
72

a
-A -A/2π/3
π/6
A/2 A x


例3 一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无 摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻 弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。 求细杆作微小振动是否是简谐振动。

振动方程 x 0.1cos t 2 3 (SI) -0.05 O
0.1 x
t=0.5s时物体的位移?
x 0.1cost 2 3 0.1cos0.5 2 3 0.0866m
（2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力? 由（1）得
k m2 0.012 0.099 N/m
E

Ep

Ek

1 2
m2 A2

1 2
kA2
4. 掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率 简谐振动的合成
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
原点：
t 0
x0

A 2ຫໍສະໝຸດ cos0
1 2

0


2
3
v0 0 Asin0 0 sin0 0
2
3
c点：
t 5s
xc 0 cos(5 2 / 3) 0 v0 0 sin(5 2 / 3) 0
1
6
方法2 旋转矢量法
（1） t 0 x0 A / 2 v0 0
确定旋转矢量
2 t 5 1
3
6
6
振动方程为
x Acos(1 t 2 ) (SI)
63
t
-A -A/2 O A/2
Ax

（2）由状态a运动到状态b，再由b运 动到c的时间分别是多少 （3）状态d的速度和加速度
(1). 动力学判据: F kx
d2 dt
x
2


2
x

0
(2). 能量判据： 振动系统机械能守恒
1 mv 2 1 k x2 恒量
2
2
(3). 运动学判据: x t Acos t 0
0

arctan(
v0
x0
)
3. 掌握简谐振动的能量特征
总的机械能：
J d kl2 d 1 mgl sin d 0
dt
dt 2
dt
J d kl2 d 1 mgl sin d 0