高二下学期期末考试数学试卷和答案
一、 选择题:(每题4分,共48分) 将答案填图在答题卡上.
1.复数31i
i
--等于( ) A .i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.
=-⎰
π
20
)sin (dx x ( )A .0 C.-2
3.若复数i i z -=
1,则=|z |( )A .2
1
B .22
C .1
D .2
4.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x 轴上的点的个数是( )A .100 B .90 C .81 D .72
5.若函数3
()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ) A .01b <<
B .1b <
C .0b >
D .1
2
b <
(
6.在二项式5)1(x
x -的展开式中,含x 3的项的系数是( )
7.若函数()y f x =的导函数...在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( ).
A .
B .
C .
D .
%
8.若圆的方程为⎩⎨
⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x (θ为参数),直线的方程为⎩
⎨⎧-=-=161
2t y t x (t 为参数),
则直线与圆的位置关系是( )。
A. 相交过圆心
B.相交而不过圆心
C.相切
D.相离
9.有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中7个球标有字母A 、3个
球标有字母B ;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一号盒子中任取一球,若取得标有字母A 的球,则在第二号盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B 的球,则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次
a
b :
a
(
o
取出的是红球,则称试验成功,那么试验成功的概率为( ) A . B . C . D .
10.设3
1(3)n
x x
的展开式的各项系数的和为P ,所有二项式系数的和为S ,若P +S =272,则
n 为( )A .4 B .5 C .6 D .8
11.设一随机试验的结果只有A 和A ,()P A p =,令随机变量10A X A =⎧⎨
⎩,出现,,不出现,,则X 的方
差为( )A.p B.2(1)p p -
C.(1)p p -- D.(1)p p -
天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试(数学理)12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧
-==1
112t t y t x (t 为
参数)所表示的曲线是( )。
天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试(数学理)
*
A B C D
二、 填空题:(每题4分,共24分)将答案写在答题纸上.
13. 曲线313y x x =
+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 14.求曲线y x 2
1
2
=
与直线y =2x 所围成的面积是 15.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin θ=3,则点(2,6
π
)到直线l 的距离为 .
16.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第i 个数为i (i 126)a =,,,,若11a ≠,33a ≠,55a ≠,135a a a <<,则不同的排列方法种数为________(用数字作答)
17.周长为18cm 的矩形,绕其一边旋转成一个圆柱,则设圆柱的体积的最大值是 (cm 3)
18.由下列各式:
—
x
y 0
x
》 0
x
y
/
x
y
112111123
111111312345672111122315>
++>++++++>++++>
你能猜出的结论是 三、
解答题:请写出解题过程和必要的文字说明,将答案写在答题纸上.
19.(本小题满分12分)已知数列{n a }满足S n =2n -n a (n ∈N +
)(1)求a 1,a 2,a 3,a 4的值. (2)猜测出n a 的表达式,并用数学归纳法证明.
20.(本小题满分12分)某厂工人在2009年里有1个季度完成生产任务,则得奖金300元;如果有2个季度完成生产任务,则可得奖金750元;如果有3个季度完成生产任务,则可得奖金1260元;如果有4个季度完成生产任务,可得奖金1800元;如果工人四个季度都未完成任务,则没有奖金,假设某工人每季度完成任务与否是等可能的,求他在2009年一年里所得奖金的分布列(要求写出过程)和数学期望。
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,点()P x y ,是椭圆2
213
x y +=上的一个动点,求(1)S x y =+的最大值.
(2)若点Q 为直线l:⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧+-=+=t y t x 2132
33上一个动点,求PQ 的最大值和最小值。
*
22. (本小题满分12分) 已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+,2()3ln g x a x b =+,其中0a >.设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点,且在该点处的切
线相同.
(I )用a 表示b ,并求b 的最大值;(II )求证:()()f x g x ≥(0x >).
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解:(Ⅰ)设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ,处的切线相同.
()2f x x a '=+∵,2
3()a g x x
'=,由题意00()()f x g x =,00()()f x g x ''=. 即22
0002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
,,
由20032a x a x +=得:0x a =,或03x a =-(舍去). 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-. 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->,则()2(13ln )h t t t '=-.于是
·
当(13ln )0t t ->,即13
0t e <<时,()0h t '>; 当(13ln )0t t -<,即13
t e >时,()0h t '<.
故()h t 在1
3
0e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,为增函数,在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∞为减函数,
于是()h t 在(0)+,∞的最大值为12333
2
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
(Ⅱ)设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->, 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x
-+=+-=>. 故()F x 在(0)a ,为减函数,在()a +,∞为增函数,
于是函数()F x 在(0)+,∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=.
—
故当0x >时,有()()0f x g x -≥,即当0x >时,()()f x g x ≥.
21解:设该工人在2006年一年里所得奖金为X ,则X 是一个离散型随机变量.由于该工人每季度完成任务与否是等可能的,所以他每季度完成任务的概率等于1
2
,所以, 0
4
4
111(0)2216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1
3
14111(300)224P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,
2224
113(750)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,31
34111(1260)224
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭, 40
44
111(1800)2216
P X C ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
~
∴其分布列为
X 0 300 750 1260 1800
P 116 14 38
14 116。